Produit tensoriel des algèbres - Tensor product of algebras

Structure algébrique → Théorie des anneaux Théorie des anneaux
Concepts de base Anneaux • Sous-anneaux • Idéal • Anneau de quotient • Idéal fractionnaire • Anneau de quotient total • Anneau de produit • Produit libre d'algèbres associatives • Produit tensoriel des anneaux Homomorphismes en anneaux • Noyau • Automorphisme interne • Endomorphisme de Frobenius Structures algébriques • Module • Algèbre associative • Anneau gradué • Anneau involutif • Catégorie de bagues • Sonnerie initiale ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Anneau de borne ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Structures associées • Champ • Champ fini • Anneau non associatif • Anneau de mensonge • Bague Jordan • Semiring • Semi-terrain
Algèbre commutative Anneaux commutatifs • Domaine intégral • Domaine entièrement fermé • Domaine GCD • Domaine de factorisation unique • Domaine idéal principal • Domaine euclidien • Champ • Champ fini • Bague de composition • Anneau polynomial • Bague formelle de la série Power Théorie algébrique des nombres • Champ de nombre algébrique • Anneau d'entiers • Indépendance algébrique • Théorie transcendantale des nombres • Degré de transcendance théorie des nombres p- adiques et nombres décimaux • Limite directe / Limite inverse • Anneau zéro ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Entiers modulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Anneau en p de Prüfer ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base - anneau de cercle p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base - p entiers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • rationnels p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base - p nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • entiers p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • nombres p- adiques ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • solénoïde p- adique ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Géométrie algébrique • Variété affine
Algèbre non commutative Anneaux non commutatifs • Anneau de division • Anneau semi-primitif • Bague simple • Commutateur Géométrie algébrique non commutative Algèbre libre algèbre de Clifford • Algèbre géométrique Algèbre des opérateurs
v t e

En mathématiques , le produit tensoriel de deux algèbres sur un anneau commutatif R est aussi une R -algèbre. Cela donne le produit tensoriel des algèbres . Lorsque l'anneau est un corps , l'application la plus courante de tels produits est de décrire le produit de représentations algébriques .

Définition

Laissez - R un anneau commutatif et laisser A et B soient R algèbres . Puisque A et B peuvent tous deux être considérés comme des R -modules , leur produit tensoriel

${\displaystyle A\fois _{R}B}$

est aussi un R -module. Le produit tensoriel peut être donné la structure d'un anneau en définissant le produit sur des éléments de la forme a  ⊗  b par

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}}$

puis extension par linéarité à tous A ⊗ _R B . Cet anneau est une R -algèbre, associative et unitaire d'élément d'identité donné par 1 _A  ⊗ 1 _B . où 1 _A et 1 _B sont les éléments d'identité de A et B . Si A et B sont commutatifs, alors le produit tensoriel est également commutatif.

Le produit tensoriel transforme la catégorie des R- algèbres en une catégorie monoïdale symétrique .

Autres propriétés

Il y a homomorphismes naturels de A et B à A  ⊗ _R  B donnée par

${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1_{B}}$

${\displaystyle b\mapsto 1_{A}\otimes b}$

Ces applications font du produit tensoriel le coproduit dans la catégorie des R -algèbres commutatives . Le produit tensoriel n'est pas le coproduit dans la catégorie de toutes les R -algèbres. Là, le coproduit est donné par un produit libre plus général des algèbres . Néanmoins, le produit tensoriel des algèbres non commutatives peut être décrit par une propriété universelle similaire à celle du coproduit :

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}} (B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,}$

où [-, -] désigne le commutateur . L' isomorphisme naturel est donné en identifiant un morphisme du côté gauche avec la paire de morphismes du côté droit où et de la même manière . ${\displaystyle \phi :A\otimes B\to X}$${\style d'affichage (f,g)}$${\displaystyle f(a):=\phi (parfois 1)}$${\displaystyle g(b):=\phi (1\fois b)}$

Applications

Le produit tensoriel des algèbres commutatives est fréquemment utilisé en géométrie algébrique . Pour les schémas affines X , Y , Z avec des morphismes de X et Z à Y , donc X = Spec( A ), Y = Spec( B ) et Z = Spec( C ) pour certains anneaux commutatifs A , B , C , le Le schéma produit fibre est le schéma affine correspondant au produit tensoriel des algèbres :

${\displaystyle X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{B}C).}$

Plus généralement, le produit fibreux des schémas est défini en collant ensemble des produits fibreux affines de cette forme.

Exemples

• Le produit tensoriel peut être utilisé comme moyen de prendre les intersections de deux sous-schémas dans un schéma : considérons les -algèbres , , puis leur produit tensoriel est , qui décrit l'intersection des courbes algébriques f = 0 et g = 0 dans le plan affine sur C .${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/f}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/g}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}\mathbb {C} [x,y]/(g)\cong \mathbb {C} [x,y]/(f,g)}$
• Plus généralement, si est un anneau commutatif et sont des idéaux, alors , avec un unique isomorphisme envoyant à .${\style d'affichage A}$${\displaystyle I,J\subseteq A}$${\displaystyle {\frac {A}{I}}\otimes _{A}{\frac {A}{J}}\cong {\frac {A}{I+J}}}$${\style d'affichage (a+I)\fois (b+J)}$${\style d'affichage (ab+I+J)}$
• Les produits tensoriels peuvent être utilisés pour modifier les coefficients. Par exemple, et .${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(x^{3}+5x^{2}+x-1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /5\cong \mathbb {Z} /5[x,y]/(x^{3}+x-1)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} [x,y]/(f)}$
• Les produits tenseurs peuvent également être utilisés pour prendre des produits de schémas affines sur un champ. Par exemple, est isomorphe à l'algèbre qui correspond à une surface affine en si f et g ne sont pas nuls.${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2}]/(f(x))\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [y_{1},y_{2 }]/(g(y))}$${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(f(x),g(y))}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{4}}$

Voir également

• Extension des scalaires
• Produit tensoriel de modules
• Produit tensoriel des champs
• Linéairement disjoint
• Apprentissage sous-espace multilinéaire

Remarques

Les références

• Kassel, Christian (1995), Groupes quantiques , Textes de troisième cycle en mathématiques, 155 , Springer, ISBN 978-0-387-94370-1.
• Lang, Serge (2002) [publié pour la première fois en 1993]. Algèbre . Textes d'études supérieures en mathématiques. 21 . Springer. ISBN 0-387-95385-X.