*-algèbre - *-algebra

Structures algébriques
groupe -comme Grouper Semi-groupe  / Monoïde Rack et quandle Quasigroupe et boucle groupe abélien Magma Groupe de mensonges Théorie des groupes
Anneau- comme Bague Rng Semiring Près de l'anneau Anneau commutatif Domaine intégral Domaine Anneau de division Théorie des anneaux
Lattice -comme Treillis Semi-treillis Treillis complémentaire Commande totale Heyting algèbre Algèbre de Boole Carte des treillis Théorie des réseaux
Module- like Module Groupe avec opérateurs Espace vectoriel Algèbre linéaire
Algèbre -comme Algèbre Associatif Non associatif Algèbre de composition algèbre de mensonge Noté Bialgèbre
v t e

En mathématiques , et plus précisément en algèbre abstraite , une *-algèbre (ou algèbre involutive ) est une structure mathématique constituée de deux anneaux involutifs R et A , où R est commutatif et A a la structure d'une algèbre associative sur R . Les algèbres involutives généralisent l'idée d'un système de nombres muni de conjugaison, par exemple les nombres complexes et la conjugaison complexe , les matrices sur les nombres complexes et les transposés conjugués , et les opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert et les adjoints hermitiens . Cependant, il peut arriver qu'une algèbre n'admette aucune involution .

Définitions

*-bague

Structure algébrique → Théorie des anneaux Théorie des anneaux
Concepts de base Anneaux • Sous-anneaux • Idéal • Anneau de quotient • Idéal fractionnaire • Anneau de quotient total • Anneau de produit • Produit libre d'algèbres associatives • Produit tensoriel des anneaux Homomorphismes en anneaux • Noyau • Automorphisme interne • Endomorphisme de Frobenius Structures algébriques • Module • Algèbre associative • Anneau gradué • Anneau involutif • Catégorie de bagues • Sonnerie initiale ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Anneau de borne ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Structures associées • Champ • Champ fini • Anneau non associatif • Anneau de mensonge • Bague Jordan • Semiring • Semi-terrain
Algèbre commutative Anneaux commutatifs • Domaine intégral • Domaine entièrement fermé • Domaine GCD • Domaine de factorisation unique • Domaine idéal principal • Domaine euclidien • Champ • Champ fini • Bague de composition • Anneau polynomial • Bague formelle de la série Power Théorie algébrique des nombres • Champ de nombre algébrique • Anneau d'entiers • Indépendance algébrique • Théorie transcendantale des nombres • Degré de transcendance théorie des nombres p- adiques et nombres décimaux • Limite directe / Limite inverse • Anneau zéro ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Entiers modulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Anneau en p de Prüfer ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base - anneau de cercle p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base - p entiers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • rationnels p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base - p nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • entiers p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • nombres p- adiques ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • solénoïde p- adique ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Géométrie algébrique • Variété affine
Algèbre non commutative Anneaux non commutatifs • Anneau de division • Anneau semi-primitif • Bague simple • Commutateur Géométrie algébrique non commutative Algèbre libre algèbre de Clifford • Algèbre géométrique Algèbre des opérateurs
v t e

En mathématiques , un *-anneau est un anneau avec une application * : A → A qui est un antiautomorphisme et une involution .

Plus précisément, * est requis pour satisfaire les propriétés suivantes :

• ( x + y )* = x * + y *
• ( x y )* = y *  x *
• 1* = 1
• ( x *)* = x

pour tout x ,  y dans A .

Il est également appelé un anneau involutive , anneau involutif et anneau avec involution . Notez que le troisième axiome est en fait redondant, car les deuxième et quatrième axiomes impliquent que 1* est également une identité multiplicative, et les identités sont uniques.

Les éléments tels que x * = x sont appelés auto-adjoints .

Des exemples archétypiques d'un *-anneau sont des champs de nombres complexes et de nombres algébriques avec une conjugaison complexe comme involution. On peut définir une forme sesquilinéaire sur n'importe quel *-anneau.

De plus, on peut définir des *-versions d'objets algébriques, tels que ideal et subring , avec l'exigence d'être * -invariant : x ∈ I ⇒ x * ∈ I et ainsi de suite.

*-algèbre

A * -algèbre A est un * -ring, avec involution * qui est une algèbre associative sur un commutative * -ring R involutive ' , de telle sorte que ( r x ) * = r'  x * ∀ r ∈ R , x ∈ A .

La base *-anneau R est souvent les nombres complexes (avec * agissant comme une conjugaison complexe).

Il résulte des axiomes que * sur A est conjugué-linéaire dans R , ce qui signifie

( x + μ  y )* = λ′  x * + μ′  y *

pour λ ,  um ∈ R , x ,  y ∈ A .

Un *-homomorphisme f  : A → B est un homomorphisme algébrique compatible avec les involutions de A et B , c'est-à-dire

• f ( a *) = f ( a )* pour tout a dans A .

Philosophie de l'opération *

L'opération * sur un anneau * est analogue à la conjugaison complexe sur les nombres complexes. La *-opération sur une *-algèbre est analogue à la prise d' adjoints dans les algèbres matricielles complexes .

Notation

L'involution * est une opération unaire écrite avec un glyphe d'étoile postfixe centré au-dessus ou près de la ligne moyenne :

x ↦ x * , ou

x ↦ x ^∗ ( TeX :x^*),

mais pas comme " x ∗ " ; voir l' article astérisque pour plus de détails.

Exemples

• Tout anneau commutatif devient un *-anneau avec l' involution triviale ( identique ).
• L'exemple le plus familier d'un *-anneau et d'une *-algèbre sur les réels est le corps des nombres complexes C où * est juste une conjugaison complexe .
• Plus généralement, une extension de corps réalisée par adjonction d'une racine carrée (comme l' unité imaginaire √ -1 ) est une algèbre involutive sur le champ initial, considéré comme un trivialement - * - anneau. Le * inverse le signe de cette racine carrée.
• Un anneau entier quadratique (pour certains D ) est un *-anneau commutatif avec le * défini de la même manière ; les champs quadratiques sont des *-algèbres sur des anneaux d'entiers quadratiques appropriés.
• Quaternions , numéros dédoublé complexes , numéros doubles , et peut - être d' autres nombre hypercomplexes systèmes forment * -anneaux (avec leur intégrée opération de conjugaison) et * -algèbres sur reals (où * est trivial). Notez qu'aucun des trois n'est une algèbre complexe.
• Les quaternions de Hurwitz forment un *-anneau non commutatif avec la conjugaison des quaternions.
• L' algèbre matricielle de n  ×  n matrices sur R avec * donnée par la transposition .
• L'algèbre matricielle de n  ×  n matrices sur C avec * donnée par la transposée conjuguée .
• Sa généralisation, l' adjoint hermitien dans l'algèbre des opérateurs linéaires bornés sur un espace de Hilbert définit également une *-algèbre.
• L' anneau polynomial R [ x ] sur un anneau trivialement-* commutatif R est une *-algèbre sur R avec P  *( x ) = P  (− x ) .
• Si ( A , +, x, *) est en même temps un * -ring, une algèbre sur un anneau R (commutative), et ( r x ) * = r  ( x *) ∀ r ∈ R , x ∈ A , alors A est une *-algèbre sur R (où * est trivial).
  • En tant que cas partiel, tout *-anneau est une *-algèbre sur des entiers .
• Tout *-anneau commutatif est une *-algèbre sur lui-même et, plus généralement, sur tout ses *-sous-anneau .
• Pour un *-anneau commutatif R , son quotient par tout son *-idéal est une *-algèbre sur R .
  • Par exemple, tout anneau trivialement-*-commutatif est une *-algèbre sur son anneau de nombres doubles , un *-anneau avec non trivial *, car le quotient par makes = 0 fait l'anneau d'origine.
  • De même pour un anneau commutatif K et son anneau polynomial K [ x ] : le quotient par x = 0 restitue K .
• Dans l' algèbre de Hecke , une involution est importante pour le polynôme de Kazhdan-Lusztig .
• L' anneau d'endomorphisme d'une courbe elliptique devient une *-algèbre sur les entiers, où l'involution est donnée en prenant l' isogénie duale . Une construction similaire fonctionne pour les variétés abéliennes avec une polarisation , auquel cas on l'appelle l' involution de Rosati (voir les notes de cours de Milne sur les variétés abéliennes).

Les algèbres de Hopf involutives sont des exemples importants de *-algèbres (avec la structure supplémentaire d'une comultiplication compatible ); l'exemple le plus connu étant :

• Le groupe algèbre de Hopf : un groupe anneau , avec involution donnée par g ↦ g ⁻¹ .

Non-Exemple

Toutes les algèbres n'admettent pas une involution :

Considérez les matrices 2×2 sur les nombres complexes. Considérons la sous-algèbre suivante :

Tout antiautomorphisme non trivial a nécessairement la forme :

pour tout nombre complexe . ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Il s'ensuit que tout antiautomorphisme non trivial échoue à être idempotent :

Conclure que la sous-algèbre n'admet aucune involution.

Structures supplémentaires

De nombreuses propriétés de la transposition sont valables pour les *-algèbres générales :

• Les éléments hermitiens forment une algèbre de Jordan ;
• Les éléments hermitiens asymétriques forment une algèbre de Lie ;
• Si 2 est inversible dans l'anneau *, alors les opérateurs 1/2(1 + *) et1/2(1 − *) sont des idempotents orthogonaux , appelés symétrisant et anti-symétrisant , donc l'algèbre se décompose en somme directe de modules ( espaces vectoriels si le *-anneau est un champ) de symétrique et anti-symétrique (Hermitian et skew Hermitian) éléments. Ces espaces ne forment généralement pas des algèbres associatives, car les idempotents sont des opérateurs et non des éléments de l'algèbre.

Structures asymétriques

Étant donné un *-anneau, il existe aussi l'application −* : x ↦ − x * . Il ne définit pas une structure en *-anneau (sauf si la caractéristique est 2, auquel cas −* est identique à l'original *), comme 1 ↦ −1 , il n'est pas non plus antimultiplicatif, mais il satisfait les autres axiomes (linéaire, involution ) et est donc assez similaire à la *-algèbre où x ↦ x * .

Les éléments fixés par cette application (c'est-à-dire tels que a = − a * ) sont appelés skew Hermitian .

Pour les nombres complexes à conjugaison complexe, les nombres réels sont les éléments hermitiens, et les nombres imaginaires sont l'hermitien asymétrique.

Voir également

• Semi-groupe avec involution
• B*-algèbre
• C*-algèbre
• Catégorie poignard
• algèbre de von Neumann
• Bague Baer
• Algèbre des opérateurs
• Conjugué (algèbre)
• Construction Cayley–Dickson
• Algèbre de composition

Remarques

Les références