Anneau non commutatif - Noncommutative ring

Structure algébrique → Théorie des anneaux Théorie des anneaux
Concepts de base Anneaux • Sous-anneaux • Idéal • Anneau de quotient • Idéal fractionnaire • Anneau de quotient total • Anneau de produit • Produit libre d'algèbres associatives • Produit tensoriel des anneaux Homomorphismes en anneaux • Noyau • Automorphisme interne • Endomorphisme de Frobenius Structures algébriques • Module • Algèbre associative • Anneau gradué • Anneau involutif • Catégorie de bagues • Sonnerie initiale ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Anneau de borne ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Structures associées • Champ • Champ fini • Anneau non associatif • Anneau de mensonge • Bague Jordan • Semiring • Semi-terrain
Algèbre commutative Anneaux commutatifs • Domaine intégral • Domaine entièrement fermé • Domaine GCD • Domaine de factorisation unique • Domaine idéal principal • Domaine euclidien • Champ • Champ fini • Bague de composition • Anneau polynomial • Bague formelle de la série Power Théorie algébrique des nombres • Champ de nombre algébrique • Anneau d'entiers • Indépendance algébrique • Théorie transcendantale des nombres • Degré de transcendance théorie des nombres p- adiques et nombres décimaux • Limite directe / Limite inverse • Anneau zéro ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Entiers modulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Anneau en p de Prüfer ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base - anneau de cercle p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base - p entiers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • rationnels p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base - p nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • entiers p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • nombres p- adiques ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • solénoïde p- adique ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Géométrie algébrique • Variété affine
Algèbre non commutative Anneaux non commutatifs • Anneau de division • Anneau semi-primitif • Bague simple • Commutateur Géométrie algébrique non commutative Algèbre libre algèbre de Clifford • Algèbre géométrique Algèbre des opérateurs
v t e

En mathématiques , plus précisément en algèbre abstraite et en théorie des anneaux , un anneau non commutatif est un anneau dont la multiplication n'est pas commutative ; c'est-à-dire qu'il existe a et b dans R avec a · b ≠ b · a . De nombreux auteurs utilisent le terme anneaux non commutatifs pour désigner des anneaux qui ne sont pas nécessairement commutatifs, et incluent donc des anneaux commutatifs dans leur définition. L'algèbre non commutative est l'étude des résultats s'appliquant aux anneaux qui ne doivent pas nécessairement être commutatifs. De nombreux résultats importants dans le domaine de l'algèbre non commutative s'appliquent aux anneaux commutatifs en tant que cas particuliers.

Bien que certains auteurs ne supposent pas que les anneaux ont une identité multiplicative, dans cet article, nous faisons cette hypothèse, sauf indication contraire.

Exemples

Voici quelques exemples d'anneaux qui ne sont pas commutatifs :

• L' anneau de matrice de n -by- n matrices sur les nombres réels , où n > 1 ,
• les quaternions de Hamilton ,
• Toute bague de groupe faite à partir d'un groupe qui n'est pas abélien ,
• L'anneau libre généré par un ensemble fini ; un exemple de deux éléments non égaux sont ,${\displaystyle \mathbb {Z} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$${\displaystyle 2x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}\neq 3x_{1}x_{2}}$
• L' algèbre de Weyl est l'anneau d'opérateurs différentiels polynomiaux définis sur l'espace affine ; par exemple, où l'idéal correspond au commutateur ,${\displaystyle A_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle A_{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \langle x,y\rangle /(xy-yx-1)}$
• L'anneau quotient où le s'appelle un plan quantique ,${\displaystyle \mathbb {C} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle /(x_{i}x_{j}-q_{ij}x_{j}x_{i})}$${\displaystyle q_{ij}\in \mathbb {C} }$
• Toute algèbre de Clifford peut être décrite explicitement à l'aide d'une présentation algébrique : étant donné un espace vectoriel de dimension n avec et une forme quadratique , l'algèbre de Clifford associée a la présentation pour toute base de ,${\displaystyle \mathbb {F} }$${\style d'affichage V}$${\displaystyle q:V\otimes V\to \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\rangle /(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}-q(e_{i} ,e_{j}))}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\style d'affichage V}$
• Les superalgèbres sont un autre exemple d'anneaux non commutatifs ; ils peuvent être présentés comme .${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\langle \theta _{1},\ldots ,\theta _{m}\rangle /(\theta _{i} \theta _{j}+\theta _{j}\theta _{i})}$

Histoire

En commençant par les anneaux de division issus de la géométrie, l'étude des anneaux non commutatifs est devenue un domaine majeur de l'algèbre moderne. La théorie et l'exposition des anneaux non commutatifs ont été développées et affinées aux XIXe et XXe siècles par de nombreux auteurs. Une liste incomplète de ces contributeurs comprend E. Artin , Richard Brauer , PM Cohn , WR Hamilton , IN Herstein , N. Jacobson , K. Morita , E. Noether , Ø. Minerai et autres.

Différences entre l'algèbre commutative et non commutative

Parce que les anneaux non commutatifs sont une classe d'anneaux beaucoup plus grande que les anneaux commutatifs, leur structure et leur comportement sont moins bien compris. De nombreux travaux ont été menés avec succès pour généraliser certains résultats des anneaux commutatifs aux anneaux non commutatifs. Une différence majeure entre les anneaux qui sont et ne sont pas commutatifs est la nécessité de considérer séparément les idéaux de droite et les idéaux de gauche . Il est courant que les théoriciens des anneaux non commutatifs appliquent une condition à l'un de ces types d'idéaux sans l'exiger pour le côté opposé. Pour les anneaux commutatifs, la distinction gauche-droite n'existe pas.

Cours importants

Anneaux de division

Un anneau de division, également appelé champ asymétrique, est un anneau dans lequel la division est possible. Plus précisément, il s'agit d'un anneau non nul dans lequel tout élément non nul a a un inverse multiplicatif , c'est-à-dire un élément x avec a · x = x · a = 1 . Autrement dit, un anneau est un anneau de division si et seulement si le groupe d'unités est égal à l'ensemble de tous les éléments non nuls.

Anneaux de division diffèrent des champs uniquement en ce que leur multiplication n'est pas nécessaire d'être commutative . Cependant, d'après le petit théorème de Wedderburn, tous les anneaux de division finis sont des corps commutatifs et donc finis . Historiquement, les anneaux de division étaient parfois appelés champs, tandis que les champs étaient appelés « champs commutatifs ».

Anneaux semi-simples

Un module sur un anneau (pas nécessairement commutatif) avec unité est dit semi-simple (ou complètement réductible) s'il est la somme directe de sous-modules simples (irréductibles).

Un anneau est dit (gauche)-semi-simple s'il est semi-simple en tant que module gauche sur lui-même. Étonnamment, un anneau semi-simple gauche est également semi-simple droit et vice versa. La distinction gauche/droite est donc inutile.

Anneaux semi-primitifs

Un anneau semi-primitif ou anneau semi-simple de Jacobson ou anneau J-semi-simple est un anneau dont le radical de Jacobson est nul. Il s'agit d'un type d'anneau plus général qu'un anneau semi - simple , mais où des modules simples fournissent tout de même suffisamment d'informations sur l'anneau. Les anneaux tels que l'anneau des entiers sont semi-primitifs, et un anneau semi-primitif artinien n'est qu'un anneau semi - simple . Les anneaux semi-primitifs peuvent être compris comme des produits sous-directs d' anneaux primitifs , qui sont décrits par le théorème de densité de Jacobson .

Anneaux simples

Un anneau simple est un non nul anneau qui n'a pas recto verso idéal en plus de l' idéal zéro et lui - même. Un anneau simple peut toujours être considéré comme une simple algèbre . Des anneaux simples comme des anneaux mais pas comme des modules existent : l' anneau matriciel complet sur un corps n'a pas d'idéaux non triviaux (puisque tout idéal de M( n , R ) est de la forme M( n , I ) avec I an idéal de R ), mais a des idéaux à gauche non triviaux (à savoir, les ensembles de matrices qui ont des colonnes zéro fixes).

Selon le théorème d'Artin-Wedderburn , chaque anneau simple qui est artinien gauche ou droit est un anneau matriciel sur un anneau de division . En particulier, les seuls anneaux simples qui sont un espace vectoriel de dimension finie sur les nombres réels sont des anneaux de matrices sur les nombres réels, les nombres complexes ou les quaternions .

Tout quotient d'un anneau par un idéal maximal est un anneau simple. En particulier, un champ est un simple anneau. Un anneau R est simple si et seulement son anneau opposé R ^o est simple.

Un exemple d'anneau simple qui n'est pas un anneau matriciel sur un anneau de division est l' algèbre de Weyl .

Théorèmes importants

Le petit théorème de Wedderburn

Le petit théorème de Wedderburn énonce que tout domaine fini est un corps . En d'autres termes, pour les anneaux finis , il n'y a pas de distinction entre les domaines, les anneaux de division et les champs.

Le théorème d'Artin-Zorn généralise le théorème aux anneaux alternatifs : tout anneau alternatif simple fini est un corps.

Théorème d'Artin-Wedderburn

Le théorème d'Artin-Wedderburn est un théorème de classification des anneaux semi - simples et des algèbres semi-simples . Le théorème stipule qu'un anneau semi-simple (artinien) R est isomorphe à un produit de nombre fini d' anneaux matriciels n _i - par n _i sur des anneaux de division D _i , pour certains entiers n _i , qui sont tous deux déterminés de manière unique jusqu'à la permutation de l'indice i . En particulier, toute simple , gauche ou droite anneau artinien est isomorphe à un n de n anneau de matrice sur un anneau de division D , où à la fois n et D sont déterminés de façon unique.

En corollaire direct, le théorème d'Artin-Wedderburn implique que tout anneau simple de dimension finie sur un anneau de division (une algèbre simple) est un anneau matriciel . C'est le résultat original de Joseph Wedderburn . Emil Artin l'a ensuite généralisé au cas des anneaux artiniens.

Théorème de densité de Jacobson

Le théorème de densité de Jacobson est un théorème concernant les modules simples sur un anneau R .

Le théorème peut être appliqué pour montrer que tout anneau primitif peut être considéré comme un sous-anneau "dense" de l'anneau de transformations linéaires d'un espace vectoriel. Ce théorème est apparu pour la première fois dans la littérature en 1945, dans le célèbre article "Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions" de Nathan Jacobson . Ceci peut être vu comme une sorte de généralisation de la conclusion du théorème d'Artin-Wedderburn sur la structure des anneaux artiniens simples .

Plus formellement, le théorème peut s'énoncer comme suit :

Le théorème de densité de Jacobson. Soit U un simple R -module à droite , D = End( U _R ) , et X ⊂ U un ensemble fini et D -linéairement indépendant. Si A est une transformation D -linéaire sur U alors il existe r ∈ R tel que A ( x ) = x • r pour tout x dans X .

Lemme de Nakayama

Soit J( R ) le radical Jacobson de R . Si U est un module droit sur un anneau, R , et I est un idéal droit dans R , alors définissons U · I comme l'ensemble de toutes les sommes (finies) d'éléments de la forme u · i , où · est simplement le action de R sur U . Nécessairement, U · I est un sous-module de U .

Si V est un sous-module maximal de U , alors U / V est simple . Donc U · J( R ) est nécessairement un sous-ensemble de V , par la définition de J( R ) et le fait que U / V est simple. Ainsi, si U contient au moins un (propre) sous-module maximal, U · J( R ) est un sous-module propre de U . Cependant, cela n'est pas nécessaire pour les modules arbitraires U sur R , car U n'a pas besoin de contenir de sous-modules maximaux. Naturellement, si U est un module noethérien , cela est vrai . Si R est noethérien et que U est de type fini , alors U est un module noethérien sur R et la conclusion est satisfaite. Ce qui est assez remarquable, c'est que l'hypothèse la plus faible, à savoir que U est de type fini en tant que R -module (et aucune hypothèse de finitude sur R ), est suffisante pour garantir la conclusion. C'est essentiellement l'énoncé du lemme de Nakayama.

Justement, on a ce qui suit.

Lemme de Nakayama : Soit U un module droit de type fini sur un anneau R . Si U est un module non nul, alors U · J( R ) est un sous-module propre de U .

Une version du lemme vaut pour les modules droits sur les anneaux unitaires non commutatifs R . Le théorème résultant est parfois connu sous le nom de théorème de Jacobson-Azumaya .

Localisation non commutative

La localisation est une méthode systématique d'ajout d'inverses multiplicatifs à un anneau et est généralement appliquée aux anneaux commutatifs. Etant donné un anneau R et un sous-ensemble S , on veut construire un anneau R* et un homomorphisme d'anneau de R à R* , tels que l'image de S soit constituée d' unités (éléments inversibles) dans R* . De plus, on veut que R* soit la «meilleure manière possible» ou «la plus générale» de le faire - de la manière habituelle, cela devrait être exprimé par une propriété universelle . La localisation de R par S est généralement notée S  ^-1 R ; cependant, d'autres notations sont utilisées dans certains cas particuliers importants. Si S est l'ensemble des éléments non nuls d'un domaine intégral , alors la localisation est le corps des fractions et est donc généralement notée Frac( R ).

La localisation des anneaux non commutatifs est plus difficile ; la localisation n'existe pas pour tout ensemble S d'unités prospectives. Une condition qui garantit que la localisation existe est la condition Ore .

Un cas pour les anneaux non commutatifs où la localisation a un intérêt évident est celui des anneaux d'opérateurs différentiels. Elle a pour interprétation, par exemple, d'adjoindre un inverse formel D ^-1 pour un opérateur de différentiation D . Cela se fait dans de nombreux contextes dans les méthodes d' équations différentielles . Il existe maintenant une grande théorie mathématique à ce sujet, nommée microlocalisation , se connectant à de nombreuses autres branches. Le micro- tag est lié aux connexions avec la théorie de Fourier , en particulier.

Équivalence Morita

L'équivalence de Morita est une relation définie entre les anneaux qui préserve de nombreuses propriétés de la théorie des anneaux. Il porte le nom du mathématicien japonais Kiiti Morita qui a défini l'équivalence et une notion similaire de dualité en 1958.

Deux anneaux R et S (associatifs, avec 1) sont dits ( Morita ) équivalents s'il existe une équivalence de la catégorie des modules (gauche) sur R , R-Mod , et de la catégorie des modules (gauche) sur S , S-Mod . On peut montrer que les catégories de modules de gauche R-Mod et S-Mod sont équivalentes si et seulement si les catégories de modules de droite Mod-R et Mod-S sont équivalentes. De plus, on peut montrer que tout foncteur de R-Mod à S-Mod qui donne une équivalence est automatiquement additif .

Groupe Brauer

Le groupe de Brauer d'un corps K est un groupe abélien dont les éléments sont des classes d' équivalence de Morita d' algèbres centrales simples de rang fini sur K et l'addition est induite par le produit tensoriel des algèbres. Il est né de tentatives de classification des algèbres de division sur un champ et porte le nom de l'algébriste Richard Brauer . Le groupe peut également être défini en termes de cohomologie galoisienne . Plus généralement, le groupe de Brauer d'un schéma est défini en termes d' algèbres d'Azumaya .

Conditions du minerai

La condition Ore est une condition introduite par Øystein Ore , à propos de la question d'étendre au-delà des anneaux commutatifs la construction d'un champ de fractions , ou plus généralement la localisation d'un anneau . Le droit état de minerai pour une partie multiplicative S d'un anneau R est que , pour un ∈ R et s ∈ S , l'intersection aS ∩ sR ≠ ∅ . Un domaine qui satisfait la bonne condition de minerai est appelé un domaine de minerai droit . Le cas de gauche est défini de la même manière.

théorème de Goldie

En mathématiques , le théorème de Goldie est un résultat structurel de base de la théorie des anneaux , prouvé par Alfred Goldie dans les années 1950. Ce que l'on appelle maintenant un anneau de Goldie droit est un anneau R qui a une dimension uniforme finie (également appelée « rang fini ») en tant que module droit sur lui-même, et satisfait la condition de chaîne ascendante sur les annihilateurs droits des sous-ensembles de R .

Le théorème de Goldie stipule que les anneaux de Goldie droits semi - premiers sont précisément ceux qui ont un anneau classique de quotients artinien semi - simple droit . La structure de cet anneau de quotients est alors complètement déterminée par le théorème d'Artin-Wedderburn .

En particulier, le théorème de Goldie s'applique aux anneaux Noetherian droits semi-premiers , puisque par définition les anneaux Noetherian droits ont la condition de chaîne ascendante sur tous les idéaux droits. Cela suffit pour garantir qu'un anneau noetherien droit est Goldie droit. L'inverse n'est pas vrai : tout domaine de minerai droit est un domaine de Goldie droit, et donc tout domaine intégral commutatif .

Une conséquence du théorème de Goldie, encore due à Goldie, est que chaque anneau idéal semi- premier droit principal est isomorphe à une somme directe finie d' anneaux idéaux principaux premiers droits. Chaque premier anneau idéal droit principal est isomorphe à un anneau matriciel sur un domaine de minerai droit.

Voir également

• Géométrie algébrique dérivée
• Géométrie algébrique non commutative
• Analyse harmonique non commutative
• Théorie des représentations (théorie des groupes)

Remarques

Les références

• Isaacs, I. Martin (1993), Algebra, un cours d'études supérieures (1ère éd.), Brooks/Cole , ISBN 0-534-19002-2
• Jacobson, N. (1945), "Théorie de la structure des anneaux simples sans hypothèses de finitude", Transactions of the American Mathematical Society , 57 : 228-245, doi : 10.2307/1990204 , JSTOR  1990204
• Nagata, M. (1962), Anneaux locaux , Wiley-Interscience

Lectures complémentaires

• Herstein, IN (1968), Anneaux non commutatifs , Association mathématique d'Amérique , ISBN 0-88385-015-X
• Lam, TY (2001), A First Course in Noncommutative Rings , Springer-Verlag