Polytope uniforme 1 _k2 -Uniform 1_k2 polytope

En géométrie , 1 _k2 polytope est un polytope uniforme en n dimensions (n ​​= k+4) construit à partir du groupe E _n Coxeter . La famille a été nommée par leur symbole de Coxeter 1 _k2 par son diagramme de Coxeter-Dynkin bifurquant , avec un seul anneau à la fin de la séquence à 1 nœud. Il peut être nommé par un symbole Schläfli étendu {3,3 ^k,2 }.

Membres de la famille

La famille commence uniquement comme 6-polytopes , mais peut être étendu vers l' arrière pour inclure le 5- demicube ( demipenteract ) dans 5 dimensions, et la 4- simplex ( 5-cellule ) en 4 dimensions.

Chaque polytope est construit à partir de 1 facettes _k-1,2 et (n-1) -demicube . Chacun a une figure de sommet d'un {3 ^1,n-2,2 } polytope est un n- simplexe birectifié , t ₂ {3 ⁿ } .

La séquence se termine par k=7 (n=11), comme un pavage infini de l'espace hyperbolique à 10 dimensions.

La famille complète des polytopes polytopes 1 _k2 est :

1. 5-cellule : 1 ₀₂ , (5 cellules tétraédriques )
2. 1 ₁₂ polytopes , (16facettes à 5 cellules et 10facettes à 16 cellules )
3. 1 ₂₂ polytope , (54facettes demipenteract )
4. 1 ₃₂ polytope , (56 1 ₂₂ et 126facettes demi-hexaracte )
5. 1 ₄₂ polytope , (240 1 ₃₂ et 2160facettes demi-hepteract )
6. 1 ₅₂ nid d'abeille , tessellés 8-espace euclidien (∞ 1 ₄₂ et ∞ demi-octactère facettes)
7. 1 ₆₂ nid d'abeille , pavage hyperbolique 9-espace (∞ 1 ₅₂ et ∞ demi- facettes)
8. 1 ₇₂ nid d'abeille, tessellats hyperboliques 10-espace (∞ 1 ₆₂ et ∞ demi-dekeract facettes)

Éléments

Gosset 1 _k2 figurines

m	1 k2	Projection polygonale de Petrie	Nom Coxeter-Dynkin diagramme	Facettes		Éléments
				1 k-1,2	(n-1)-demicube	Sommets	Bords	Visages	Cellules	4 visages	5 -visages	6 -visages	7 -visages
4	1 02		1 20	--	5 1 10	5	dix	dix	5
5	1 12		1 21	16 1 20	10 1 11	16	80	160	120	26
6	1 22		1 22	27 1 12	27 1 21	72	720	2160	2160	702	54
7	1 32		1 32	56 1 22	126 1 31	576	10080	40320	50400	23688	4284	182
8	1 42		1 42	240 1 32	2160 1 41	17280	483840	2419200	3628800	2298240	725760	106080	2400
9	1 52		1 52 (pavage à 8 espaces)	∞ 1 42	∞ 1 51	∞
dix	1 62		1 62 (pavage hyperbolique à 9 espaces)	∞ 1 52	∞ 1 61	∞
11	1 72		1 72 (pavage hyperbolique à 10 espaces)	∞ 1 62	∞ 1 71	∞

Voir également

• famille de polytopes k ₂₁
• Famille de polytopes 2 _k1

Les références

• Alicia Boole Stott Déduction géométrique du semi-régulier à partir des polytopes réguliers et des remplissages d'espace , Verhandelingen de la Koninklijke academy van Wetenschappen largeur unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
  • Stott, AB "Déduction géométrique de semi-réguliers à partir de polytopes réguliers et de remplissages d'espace." Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Amsterdam 11, 3-24, 1910.
  • Alicia Boole Stott, « Déduction géométrique de semi-réguliers à partir de polytopes réguliers et de remplissages d'espaces », Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, (eerste sectie), Vol. 11, n° 1, pp. 1-24 plus 3 planches, 1910.
  • Stott, AB 1910. "Déduction géométrique de semi-réguliers à partir de polytopes réguliers et de remplissages d'espace." Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Amsterdam
• Schoute, PH, Traitement analytique des polytopes régulièrement dérivés des polytopes réguliers, Ver. der Koninklijke Akad. van Wetenschappen te Amsterdam (eerstie sectie), vol 11.5, 1913.
• HSM Coxeter : Polytopes réguliers et semi-réguliers, Partie I, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlin, 1940
• NW Johnson : La théorie des polytopes et nids d'abeilles uniformes , Ph.D. Thèse, Université de Toronto, 1966
• HSM Coxeter : Polytopes réguliers et semi-réguliers, Partie II, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlin, 1985
• HSM Coxeter : Polytopes réguliers et semi-réguliers, Partie III, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlin, 1988

Liens externes

• PolyGloss v0.05 : Chiffres Gosset (Gossetododecatope)

v t e Nids d' abeilles fondamentaux convexes réguliers et uniformes dans les dimensions 2-9
Espace	Famille	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ /${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	Carrelage uniforme	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Hexagonal
E 3	Nid d'abeille convexe uniforme	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Uniforme à 4 nids d'abeilles	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	nid d'abeille à 24 alvéoles
E 5	Uniforme 5-nid d'abeilles	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Uniforme 6 nid d'abeille	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Uniforme 7 nid d'abeille	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Uniforme 8-nid d'abeille	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Uniforme 9-nid d'abeille	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	Uniforme 10-nid d'abeille	{3 [11] }	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n -1	Uniforme ( n -1)- nid d'abeille	{3 [n] }	δ n	Hda n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21