6-orthoplex - 6-orthoplex

6-orthoplex hexacross
Projection orthogonale à l' intérieur du polygone de Petrie
Type	Régulier 6-polytope
Famille	orthoplex
Symboles Schläfli	{3,3,3,3,4} {3,3,3,3 ^1,1 }
Diagrammes de Coxeter-Dynkin	=
5 faces	64 {3 ⁴ }
4 faces	192 {3 ³ }
Cellules	240 {3,3}
Visages	160 {3}
Bords	60
Sommets	12
Figure de sommet	5-orthoplex
Polygone de Petrie	dodécagone
Groupes Coxeter	B ₆ , [4,3 ⁴ ] D ₆ , [3 ^3,1,1 ]
Double	6 cubes
Propriétés	convexe

En géométrie , un polytope 6-orthoplex , ou 6- cross , est un 6-polytope régulier avec 12 sommets , 60 arêtes , 160 faces triangulaires , 240 cellules tétraèdres , 192 4 faces à 5 cellules et 64 5 faces .

Il a deux formes construites, la première étant régulière avec le symbole Schläfli {3 ⁴ , 4}, et la seconde avec des facettes alternativement étiquetées (en damier), avec le symbole Schläfli {3,3,3,3 ^1,1 } ou le symbole Coxeter 3 ₁₁ .

Il fait partie d'une famille infinie de polytopes, appelés cross-polytopes ou orthoplexes . Le double polytope est le 6- hypercube , ou hexeract .

Noms alternatifs

Hexacross , dérivé de la combinaison du nom de famille cross polytope avec hex pour six (dimensions) en grec .
Hexacontitetrapeton sous forme de polytope à 64 facettes .

En tant que configuration

Cette matrice de configuration représente le 6-orthoplex. Les lignes et colonnes correspondent aux sommets, arêtes, faces, cellules, 4 faces et 5 faces. Les nombres diagonaux indiquent combien de chaque élément se produit dans tout le 6-orthoplex. Les nombres non diagonaux indiquent combien d'éléments de la colonne se trouvent dans ou à l'élément de la ligne.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 12 & 10 & 40 & 80 & 80 & 32 \\ 2 & 60 & 8 & 24 & 32 & 16 \\ 3 & 3 & 160 & 6 & 12 & 8 \\ 4 & 6 & 4 & 240 & 4 & 4 \\ 5 & 10 & 10 & 5 & 192 & 2 \\ 6 & 15 & 20 & 15 & 6} fin matrice}$

Construction

Il existe trois groupes de Coxeter associés au 6-orthoplex, un régulier , duel de l' hexéracte avec le groupe C ₆ ou [4,3,3,3,3] Coxeter , et une demi-symétrie avec deux copies de facettes 5-simplex , en alternance, avec le groupe D ₆ ou [3 ^3,1,1 ] Coxeter. Une construction de symétrie la plus basse est basée sur un dual d'un 6- orthotope , appelé un 6-fusil .

Nom	Schläfli	Symétrie	Commande
Ordinaire 6-orthoplex	{3,3,3,3,4}	[4,3,3,3,3]	46080
Quasirégulier 6-orthoplex	{3,3,3,3 ^1,1 }	[3,3,3,3 ^1,1 ]	23040
6-fusil	{3,3,3,4} + {}	[4,3,3,3,3]	7680
	{3,3,4} + {4}	[4,3,3,2,4]	3072
	2 {3,4}	[4,3,2,4,3]	2304
	{3,3,4} +2 {}	[4,3,3,2,2]	1536
	{3,4} + {4} + {}	[4,3,2,4,2]	768
	3 {4}	[4,2,4,2,4]	512
	{3,4} +3 {}	[4,3,2,2,2]	384
	2 {4} +2 {}	[4,2,4,2,2]	256
	{4} +4 {}	[4,2,2,2,2]	128
	6 {}	[2,2,2,2,2]	64

Coordonnées cartésiennes

Les coordonnées cartésiennes des sommets d'un 6-orthoplex, centré à l'origine sont

(± 1,0,0,0,0,0), (0, ± 1,0,0,0,0), (0,0, ± 1,0,0,0), (0,0, 0, ± 1,0,0), (0,0,0,0, ± 1,0), (0,0,0,0,0, ± 1)

Chaque paire de sommets est reliée par une arête , sauf les opposés.

Images

projections orthographiques
Avion de Coxeter	B ₆	B ₅	B ₄
Graphique
Symétrie dièdre	[12]	[dix]	[8]
Avion de Coxeter	B ₃	B ₂
Graphique
Symétrie dièdre	[6]	[4]
Avion de Coxeter	A ₅	A ₃
Graphique
Symétrie dièdre	[6]	[4]

Polytopes associés

Le 6-orthoplex peut être projeté jusqu'à 3 dimensions dans les sommets d'un icosaèdre régulier .

2D		3D
Icosaèdre {3,5} = Avion H ₃ Coxeter	6-orthoplex {3,3,3,3 ^1,1 } = Avion de Coxeter D ₆	Icosaèdre	6-orthoplex
Cette construction peut être vue géométriquement comme les 12 sommets du 6-orthoplex projetés à 3 dimensions comme les sommets d'un icosaèdre régulier . Ceci représente un pliage géométrique de la D ₆ H ₃ groupes de Coxeter : : à . Sur la gauche, vus par ces projections orthogonales du plan de Coxeter 2D , les deux sommets centraux qui se chevauchent définissent le troisième axe dans ce mapping. Chaque paire de sommets du 6-orthoplex sont connectés, sauf ceux opposés: 30 arêtes sont partagées avec l'icosaèdre, tandis que 30 arêtes supplémentaires du projet 6-orthoplex à l'intérieur de l'icosaèdre.

Il s'agit d'une série dimensionnelle de polytopes et de nids d'abeilles uniformes, exprimée par Coxeter en série 3 _k1 . (Un cas dégénéré en 4 dimensions existe sous forme de pavage à 3 sphères, un hosohèdre tétraédrique .)

3 chiffres dimensionnels _k1
Espace	Fini				Euclidienne	Hyperbolique
n	4	5	6	7	8	9
Groupe Coxeter	A ₃ A ₁	A ₅	D ₆	E ₇	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$ = E ₇⁺	${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$ = E ₇⁺⁺
Diagramme de Coxeter
Symétrie	[3 ^-1,3,1 ]	[3 ^0,3,1 ]	[[3 ^1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 ^2,3,1 ]	[3 ^3,3,1 ]	[3 ^4,3,1 ]
Commande	48	720	46 080	2 903 040	∞
Graphique					-	-
Nom	3 _{1, -1}	3 ₁₀	3 ₁₁	3 ₂₁	3 ₃₁	3 ₄₁

Ce polytope est l' un des 63 uniformes 6-polytopes générés à partir du B ₆ plan Coxeter , y compris le régulier 6-cube ou 6 orthoplex.

Polytopes B6
β ₆	t ₁ β ₆	t ₂ β ₆	t ₂ γ ₆	t ₁ γ ₆	γ ₆	t _0,1 β ₆	t _0,2 β ₆
t _1,2 β ₆	t _0,3 β ₆	t _1,3 β ₆	t _2,3 γ ₆	t _0,4 β ₆	t _1,4 γ ₆	t _1,3 γ ₆	t _1,2 γ ₆
t _0,5 γ ₆	t _0,4 γ ₆	t _0,3 γ ₆	t _0,2 γ ₆	t _0,1 γ ₆	t _0,1,2 β ₆	t _0,1,3 β ₆	t _0,2,3 β ₆
t _1,2,3 β ₆	t _0,1,4 β ₆	t _0,2,4 β ₆	t _1,2,4 β ₆	t _0,3,4 β ₆	t _1,2,4 γ ₆	t _1,2,3 γ ₆	t _0,1,5 β ₆
t _0,2,5 β ₆	t _0,3,4 γ ₆	t _0,2,5 γ ₆	t _0,2,4 γ ₆	t _0,2,3 γ ₆	t _0,1,5 γ ₆	t _0,1,4 γ ₆	t _0,1,3 γ ₆
t _0,1,2 γ ₆	t _0,1,2,3 β ₆	t _0,1,2,4 β ₆	t _0,1,3,4 β ₆	t _0,2,3,4 β ₆	t _1,2,3,4 γ ₆	t _0,1,2,5 β ₆	t _0,1,3,5 β ₆
t _0,2,3,5 γ ₆	t _0,2,3,4 γ ₆	t _0,1,4,5 γ ₆	t _0,1,3,5 γ ₆	t _0,1,3,4 γ ₆	t _0,1,2,5 γ ₆	t _0,1,2,4 γ ₆	t _0,1,2,3 γ ₆
t _0,1,2,3,4 β ₆	t _0,1,2,3,5 β ₆	t _0,1,2,4,5 β ₆	t _0,1,2,4,5 γ ₆	t _0,1,2,3,5 γ ₆	t _0,1,2,3,4 γ ₆	t _0,1,2,3,4,5 γ ₆

Les références

HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3e édition, Dover New York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , édité par F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Papier 22) HSM Coxeter, Polytopes réguliers et semi-réguliers I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - (Papier 23) HSM Coxeter, Polytopes II régulier et semi-régulier , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - (Papier 24) HSM Coxeter, Polytopes réguliers et semi-réguliers III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Norman Johnson Uniform Polytopes , Manuscrit (1991)
- NW Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. 1966
Klitzing, Richard. "Polytopes uniformes 6D (polypeta) x3o3o3o3o4o - gee" .

Spécifique

^ Coxeter, Polytopes réguliers, sec 1.8 Configurations
^ Coxeter, Polytopes réguliers complexes, p.117
^ Quasicrystals and Geometry , Marjorie Senechal, 1996, Cambridge University Press, p64. 2.7.1 Le cristal I ₆

Liens externes

Olshevsky, George. "Cross polytope" . Glossaire de l'hyperespace . Archivé de l'original le 4 février 2007.
Polytopes de différentes dimensions
Glossaire multidimensionnel

v t e Polytopes fondamentaux convexes réguliers et uniformes dans les dimensions 2–10
Famille	Un _n	B _n	I ₂ (p) / D _n	E ₆ / E ₇ / E ₈ / F ₄ / G ₂	H _n
Polygone régulier	Triangle	Carré	p-gon	Hexagone	Pentagone
Polyèdre uniforme	Tétraèdre	Octaèdre • Cube	Demicube		Dodécaèdre • Icosaèdre
4-polytope uniforme	5 cellules	16 cellules • Tesseract	Demitesseract	24 cellules	120 cellules • 600 cellules
Uniforme 5-polytope	5-simplex	5-orthoplex • 5 cubes	5-demicube
Uniforme 6-polytope	6 simplex	6-orthoplex • 6-cube	6-demicube	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Uniforme 7-polytope	7-simplex	7-orthoplex • 7-cube	7-demicube	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Uniforme 8-polytope	8 simplex	8 orthoplex • 8 cubes	8-demicube	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Uniforme 9-polytope	9-simplex	9-orthoplex • 9-cube	9-demicube
Uniforme 10-polytope	10-simplex	10-orthoplex • 10-cube	10-demicube
Uniforme n - polytope	n - simplex	n - orthoplex • n - cube	n - demicube	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n - polytope pentagonal
Sujets: familles Polytope • polytope régulier • Liste des polyèdres réguliers et composés

[1] Coxeter, Polytopes réguliers, sec 1.8 Configurations

[2] Coxeter, Polytopes réguliers complexes, p.117

[3] Quasicrystals and Geometry , Marjorie Senechal, 1996, Cambridge University Press, p64. 2.7.1 Le cristal I ₆

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