2 ₃₁ polytope - 2₃₁ polytope

Projections orthogonales dans le plan de Coxeter E ₇
3 ₂₁	2 ₃₁		1 ₃₂
Rectifié 3 ₂₁		birectifié 3 ₂₁
Rectifié 2 ₃₁		Rectifié 1 ₃₂

En géométrie à 7 dimensions , 2 ₃₁ est un polytope uniforme , construit à partir du groupe E7 .

Son symbole Coxeter est 2 ₃₁ , décrivant son diagramme Coxeter-Dynkin bifurquant , avec un seul anneau à l'extrémité de la branche à 2 nœuds.

Le rectifié 2 ₃₁ est construit par des points aux bords médians du 2 ₃₁ .

Ces polytopes font partie d'une famille de 127 (ou 2 ⁷ -1) polytopes uniformes convexes en 7 dimensions , constitués de facettes de polytopes uniformes et de figures de sommets , définis par toutes les permutations d'anneaux dans ce diagramme de Coxeter-Dynkin : .

2_31 polytope

Gosset 2 ₃₁ polytope
Taper	Uniforme 7-polytope
Famille	2 _k1 polytope
Symbole Schläfli	{3,3,3 ^3,1 }
Symbole de Coxeter	2 ₃₁
Diagramme de Coxeter
6 faces	632: 56 2 ₂₁ 576 {3 ⁵ }
5 faces	4788: 756 2 ₁₁ 4032 {3 ⁴ }
4 faces	16128: 4032 2 ₀₁ 12096 {3 ³ }
Cellules	20160 {3 ² }
Visages	1 080 {3}
Bords	2016
Sommets	126
Figure de sommet	1 ₃₁
Polygone de Petrie	Octadécagone
Groupe Coxeter	E ₇ , [3 ^3,2,1 ]
Propriétés	convexe

Le 2 ₃₁ est composé de 126 sommets , 2016 arêtes , 10080 faces (triangles), 20160 cellules ( tétraèdres ), 16128 4 faces ( 3-simplexes ), 4788 5 faces (756 pentacrosses et 4032 5-simplexes ), 632 6 faces (576 6-simplexes et 56 2 ₂₁ ). Sa figure de sommet est un 6-demicube . Ses 126 sommets représentent les vecteurs racines du groupe de Lie simple E ₇ .

Ce polytope est la figure du sommet d'un pavage uniforme d' un espace à 7 dimensions, 3 ₃₁ .

Noms alternatifs

EL Elte l'a nommé V ₁₂₆ (pour ses 126 sommets) dans sa liste de 1912 de polytopes semi-réguliers.
Il a été appelé 2 ₃₁ par Coxeter pour son diagramme bifurquant de Coxeter-Dynkin , avec un seul anneau à la fin de la séquence à 2 nœuds.
Pentacontihexa-pentacosiheptacontihexa-exon (Acronyme laq) - 56-576 polyexon à facettes (Jonathan Bowers)

Construction

Il est créé par une construction Wythoff sur un ensemble de 7 miroirs hyperplan dans un espace à 7 dimensions.

Les informations de facette peuvent être extraites de son diagramme de Coxeter-Dynkin , .

La suppression du nœud sur la branche courte quitte le 6-simplex . Il existe 576 de ces facettes. Ces facettes sont centrées sur les emplacements des sommets du polytope 3 ₂₁ , .

La suppression du nœud à l'extrémité de la branche de 3 longueurs laisse le 2 ₂₁ . Il y a 56 de ces facettes. Ces facettes sont centrées sur les emplacements des sommets du polytope 1 ₃₂ , .

La figure du sommet est déterminée en supprimant le nœud annelé et en faisant sonner le nœud voisin. Cela rend le 6-demicube , 1 ₃₁ , .

Vu dans une matrice de configuration , le nombre d'éléments peut être dérivé par la suppression du miroir et les ratios des ordres de groupe de Coxeter .

E ₇	k -face	f _k	f ₀	f ₁	f ₂	f ₃	f ₄		f ₅		f ₆		k -figures	Remarques
D ₆	()	f ₀	126	32	240	640	160	480	60	192	12	32	6-demicube	E ₇ / D ₆ = 72x8! / 32/6! = 126
A ₅ A ₁	{}	f ₁	2	2016	15	60	20	60	15	30	6	6	rectifié 5-simplex	E ₇ / A ₅ A ₁ = 72x8! / 6! / 2 = 2016
A ₃ A ₂ A ₁	{3}	f ₂	3	3	10080	8	4	12	6	8	4	2	prisme tétraédrique	E ₇ / A ₃ A ₂ A ₁ = 72x8! / 4! / 3! / 2 = 10080
A ₃ A ₂	{3,3}	f ₃	4	6	4	20160	1	3	3	3	3	1	tétraèdre	E ₇ / A ₃ A ₂ = 72x8! / 4! / 3! = 20160
A ₄ A ₂	{3,3,3}	f ₄	5	dix	dix	5	4032	*	3	0	3	0	{3}	E ₇ / A ₄ A ₂ = 72x8! / 5! / 3! = 4032
A ₄ A ₁	{3,3,3}	f ₄	5	dix	dix	5	*	12096	1	2	2	1	Triangle isocèle	E ₇ / A ₄ A ₁ = 72x8! / 5! / 2 = 12096
D ₅ A ₁	{3,3,3,4}	f ₅	dix	40	80	80	16	16	756	*	2	0	{}	E ₇ / D ₅ A ₁ = 72x8! / 32/5! = 756
A ₅	{3,3,3,3}	f ₅	6	15	20	15	0	6	*	4032	1	1	{}	E ₇ / A ₅ = 72x8! / 6! = 72 * 8 * 7 = 4032
E ₆	{3,3,3 ^2,1 }	f ₆	27	216	720	1080	216	432	27	72	56	*	()	E ₇ / E ₆ = 72x8! / 72x6! = 8 * 7 = 56
A ₆	{3,3,3,3,3}	f ₆	7	21	35	35	0	21	0	7	*	576	()	E ₇ / A ₆ = 72x8! / 7! = 72 × 8 = 576

Images

Projections planes de Coxeter
E7	E6 / F4	B6 / A6
[18]	[12]	[7x2]
A5	D7 / B6	D6 / B5
[6]	[12/2]	[dix]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
[8]	[6]	[4]

Polytopes et nids d'abeilles associés

2 _{k 1} chiffres en n dimensions
Espacer	Fini						Euclidienne	Hyperbolique
n	3	4	5	6	7	8	9	dix
Groupe Coxeter	E ₃ = A ₂ A ₁	E ₄ = A ₄	E ₅ = D ₅	E ₆	E ₇	E ₈	E ₉ = = E ₈⁺ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	E ₁₀ = = E ₈⁺⁺ ${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$
Diagramme de Coxeter
Symétrie	[3 ^-1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[[3 ^1,2,1 ]]	[3 ^2,2,1 ]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
Commander	12	120	384	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Graphique							-	-
Nom	2 _−1,1	2 ₀₁	2 ₁₁	2 ₂₁	2 ₃₁	2 ₄₁	2 ₅₁	2 ₆₁