Uniforme 7-polytope - Uniform 7-polytope

Graphiques de trois polytopes uniformes réguliers et apparentés

7-simplex				Rectifié 7-simplex				7 simplex tronqué
7-simplex cantellés				7-simplex tronqué				7 simplex stérilisé
Pentellé 7-simplex						Hexiqué 7-simplex
7-orthoplex				7-orthoplex tronqué				7-orthoplex rectifié
7-orthoplex cantellées				7-orthoplex tronqué				7-orthoplex stérique
7-orthoplex pentelé				7 cubes hexagonaux				7 cubes pentellés
7 cubes stérilisés				7 cubes cantellés				7 cubes tronqués
7 cubes				7 cubes tronqués				7 cubes rectifiés
7-demicube				Cantic 7 cubes				Runcic 7 cubes
7 cubes stériques				Pentique 7 cubes				Hexique 7 cubes
3 21				2 31				1 32

En géométrie à sept dimensions , un 7-polytope est un polytope contenu par des facettes de 6-polytope. Chaque arête de 5 polytopes étant partagée par exactement deux facettes de 6 polytopes .

Un 7-polytope uniforme est celui dont le groupe de symétrie est transitif sur les sommets et dont les facettes sont des 6-polytopes uniformes .

7-polytopes réguliers

Les 7-polytopes réguliers sont représentés par le symbole de Schläfli {p, q, r, s, t, u} avec des facettes u {p, q, r, s, t} 6-polytopes autour de chaque 4 faces.

Il existe exactement trois de ces polytopes réguliers convexes à 7 :

1. {3,3,3,3,3,3} - 7-simplex
2. {4,3,3,3,3,3} - 7 cubes
3. {3,3,3,3,3,4} - 7-orthoplex

Il n'y a pas de 7-polytopes réguliers non convexes.

Caractéristiques

La topologie d'un 7-polytope donné est définie par ses nombres de Betti et ses coefficients de torsion .

La valeur de la caractéristique d'Euler utilisée pour caractériser les polyèdres ne se généralise pas utilement aux dimensions supérieures, quelle que soit leur topologie sous-jacente. Cette inadéquation de la caractéristique d'Euler à distinguer de manière fiable entre différentes topologies de dimensions supérieures a conduit à la découverte des nombres de Betti plus sophistiqués.

De même, la notion d'orientabilité d'un polyèdre est insuffisante pour caractériser les torsions de surface des polytopes toroïdaux, ce qui a conduit à l'utilisation de coefficients de torsion.

7-polytopes uniformes par groupes fondamentaux de Coxeter

Des 7-polytopes uniformes à symétrie réfléchissante peuvent être générés par ces quatre groupes de Coxeter, représentés par des permutations d'anneaux des diagrammes de Coxeter-Dynkin :

#	Groupe Coxeter			Formes régulières et semi-régulières	Comptage uniforme
1	A 7	[3 6 ]		7-simplex - {3 6 },	71
2	B 7	[4,3 5 ]		7 cubes - {4,3 5 }, 7-orthoplex - {3 5 , 4}, 7-demicube - h {4,3 5 },	127 + 32
3	D 7	[3 3,1,1 ]		7-demicube , {3,3 4,1 }, 7-orthoplex , {3 4 , 3 1,1 },	95 (0 unique)
4	E 7	[3 3,2,1 ]		3 21 - 1 32 - 2 31 -	127

Groupes de Coxeter finis prismatiques
#	Groupe Coxeter		Diagramme de Coxeter
6 + 1
1	A 6 A 1	[3 5 ] × []
2	BC 6 A 1	[4,3 4 ] × []
3	D 6 A 1	[3 3,1,1 ] × []
4	E 6 A 1	[3 2,2,1 ] × []
5 + 2
1	A 5 I 2 (p)	[3,3,3] × [p]
2	BC 5 I 2 (p)	[4,3,3] × [p]
3	D 5 I 2 (p)	[3 2,1,1 ] × [p]
5 + 1 + 1
1	A 5 A 1 2	[3,3,3] × [] 2
2	BC 5 A 1 2	[4,3,3] × [] 2
3	D 5 A 1 2	[3 2,1,1 ] × [] 2
4 + 3
1	A 4 A 3	[3,3,3] × [3,3]
2	A 4 B 3	[3,3,3] × [4,3]
3	A 4 H 3	[3,3,3] × [5,3]
4	BC 4 A 3	[4,3,3] × [3,3]
5	BC 4 B 3	[4,3,3] × [4,3]
6	BC 4 H 3	[4,3,3] × [5,3]
7	H 4 A 3	[5,3,3] × [3,3]
8	H 4 B 3	[5,3,3] × [4,3]
9	H 4 H 3	[5,3,3] × [5,3]
dix	F 4 A 3	[3,4,3] × [3,3]
11	F 4 B 3	[3,4,3] × [4,3]
12	F 4 H 3	[3,4,3] × [5,3]
13	D 4 A 3	[3 1,1,1 ] × [3,3]
14	D 4 B 3	[3 1,1,1 ] × [4,3]
15	J 4 H 3	[3 1,1,1 ] × [5,3]
4 + 2 + 1
1	A 4 I 2 (p) A 1	[3,3,3] × [p] × []
2	BC 4 I 2 (p) A 1	[4,3,3] × [p] × []
3	F 4 I 2 (p) A 1	[3,4,3] × [p] × []
4	H 4 I 2 (p) A 1	[5,3,3] × [p] × []
5	D 4 I 2 (p) A 1	[3 1,1,1 ] × [p] × []
4 + 1 + 1 + 1
1	A 4 A 1 3	[3,3,3] × [] 3
2	BC 4 A 1 3	[4,3,3] × [] 3
3	F 4 A 1 3	[3,4,3] × [] 3
4	H 4 A 1 3	[5,3,3] × [] 3
5	D 4 A 1 3	[3 1,1,1 ] × [] 3
3 + 3 + 1
1	A 3 A 3 A 1	[3,3] × [3,3] × []
2	A 3 B 3 A 1	[3,3] × [4,3] × []
3	A 3 H 3 A 1	[3,3] × [5,3] × []
4	BC 3 B 3 A 1	[4,3] × [4,3] × []
5	BC 3 H 3 A 1	[4,3] × [5,3] × []
6	H 3 A 3 A 1	[5,3] × [5,3] × []
3 + 2 + 2
1	A 3 I 2 (p) I 2 (q)	[3,3] × [p] × [q]
2	BC 3 I 2 (p) I 2 (q)	[4,3] × [p] × [q]
3	H 3 I 2 (p) I 2 (q)	[5,3] × [p] × [q]
3 + 2 + 1 + 1
1	A 3 I 2 (p) A 1 2	[3,3] × [p] × [] 2
2	BC 3 I 2 (p) A 1 2	[4,3] × [p] × [] 2
3	H 3 I 2 (p) A 1 2	[5,3] × [p] × [] 2
3 + 1 + 1 + 1 + 1
1	A 3 A 1 4	[3,3] × [] 4
2	BC 3 A 1 4	[4,3] × [] 4
3	H 3 A 1 4	[5,3] × [] 4
2 + 2 + 2 + 1
1	I 2 (p) I 2 (q) I 2 (r) A 1	[p] × [q] × [r] × []
2 + 2 + 1 + 1 + 1
1	I 2 (p) I 2 (q) A 1 3	[p] × [q] × [] 3
2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
1	I 2 (p) A 1 5	[p] × [] 5
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
1	A 1 7	[] 7

La famille A ₇

La famille A ₇ a une symétrie d'ordre 40320 (8 factorielle ).

Il existe 71 (64 + 8-1) formes basées sur toutes les permutations des diagrammes de Coxeter-Dynkin avec un ou plusieurs anneaux. Tous les 71 sont énumérés ci-dessous. Les noms de troncature de Norman Johnson sont donnés. Les noms et acronymes de Bowers sont également donnés pour les renvois.

Voir également une liste des polytopes A7 pour les graphiques plan de Coxeter symétriques de ces polytopes.

A 7 polytopes uniformes
#	Diagramme de Coxeter-Dynkin	Indices de troncature	Johnson nom Bowers nom (et acronyme)	Point de base	Nombre d'éléments
					6	5	4	3	2	1	0
1		t 0	7-simplex (oca)	(0,0,0,0,0,0,0,1)	8	28	56	70	56	28	8
2		t 1	Rectifié 7-simplex (roc)	(0,0,0,0,0,0,1,1)	16	84	224	350	336	168	28
3		t 2	7-simplex birectifié (broc)	(0,0,0,0,0,1,1,1)	16	112	392	770	840	420	56
4		t 3	Trirectified 7-simplex (he)	(0,0,0,0,1,1,1,1)	16	112	448	980	1120	560	70
5		t 0,1	7 simplex tronqué (toc)	(0,0,0,0,0,0,1,2)	16	84	224	350	336	196	56
6		t 0,2	7-simplex cantellés (saro)	(0,0,0,0,0,1,1,2)	44	308	980	1750	1876	1008	168
7		t 1,2	Bitruncated 7-simplex (bittoc)	(0,0,0,0,0,1,2,2)						588	168
8		t 0,3	7-simplex tronqué (spo)	(0,0,0,0,1,1,1,2)	100	756	2548	4830	4760	2100	280
9		t 1,3	Bicantellated 7-simplex (sabro)	(0,0,0,0,1,1,2,2)						2520	420
dix		t 2,3	7-simplex tronqué (tattoc)	(0,0,0,0,1,2,2,2)						980	280
11		t 0,4	7-simplex stérique (sco)	(0,0,0,1,1,1,1,2)						2240	280
12		t 1,4	Birunciné 7-simplex (sibpo)	(0,0,0,1,1,1,2,2)						4200	560
13		t 2,4	Tricantellated 7-simplex (stiroh)	(0,0,0,1,1,2,2,2)						3360	560
14		t 0,5	Pentellé 7-simplex (seto)	(0,0,1,1,1,1,1,2)						1260	168
15		t 1,5	Bistericated 7-simplex (sabach)	(0,0,1,1,1,1,2,2)						3360	420
16		t 0,6	Hexiqué 7-simplex (suph)	(0,1,1,1,1,1,1,2)						336	56
17		t 0,1,2	7-simplex cantitruncated (garo)	(0,0,0,0,0,1,2,3)						1176	336
18		t 0,1,3	7-simplex tronqué (patto)	(0,0,0,0,1,1,2,3)						4620	840
19		t 0,2,3	Runcicantellated 7-simplex (paro)	(0,0,0,0,1,2,2,3)						3360	840
20		t 1,2,3	7-simplex bicantitronqué (gabro)	(0,0,0,0,1,2,3,3)						2940	840
21		t 0,1,4	7-simplex stéréoscopique (cato)	(0,0,0,1,1,1,2,3)						7280	1120
22		t 0,2,4	7-simplex Stericantellated (caro)	(0,0,0,1,1,2,2,3)						10080	1680
23		t 1,2,4	Biruncitruncated 7-simplex (bipto)	(0,0,0,1,1,2,3,3)						8400	1680
24		t 0,3,4	7-simplex stéréoscopique (cepo)	(0,0,0,1,2,2,2,3)						5040	1120
25		t 1,3,4	Biruncicantellated 7-simplex (bipro)	(0,0,0,1,2,2,3,3)						7560	1680
26		t 2,3,4	7-simplex tricantitronqué (gatroh)	(0,0,0,1,2,3,3,3)						3920	1120
27		t 0,1,5	Pentitronqué 7-simplex (teto)	(0,0,1,1,1,1,2,3)						5460	840
28		t 0,2,5	Penticantellated 7-simplex (tero)	(0,0,1,1,1,2,2,3)						11760	1680
29		t 1,2,5	Bisteritruncated 7-simplex (bacto)	(0,0,1,1,1,2,3,3)						9240	1680
30		t 0,3,5	Pentironciné 7-simplex (tepo)	(0,0,1,1,2,2,2,3)						10920	1680
31		t 1,3,5	Bistericantellated 7-simplex (bacroh)	(0,0,1,1,2,2,3,3)						15120	2520
32		t 0,4,5	Pentistericated 7-simplex (teco)	(0,0,1,2,2,2,2,3)						4200	840
33		t 0,1,6	Hexitruncated 7-simplex (puto)	(0,1,1,1,1,1,2,3)						1848	336
34		t 0,2,6	Hexicantellated 7-simplex (puro)	(0,1,1,1,1,2,2,3)						5880	840
35		t 0,3,6	7-simplex hexirunciné (puph)	(0,1,1,1,2,2,2,3)						8400	1120
36		t 0,1,2,3	7-simplex tronqué tronqué (gapo)	(0,0,0,0,1,2,3,4)						5880	1680
37		t 0,1,2,4	7-simplex stérique tronconique (cagro)	(0,0,0,1,1,2,3,4)						16800	3360
38		t 0,1,3,4	7-simplex stéréoscopique (capto)	(0,0,0,1,2,2,3,4)						13440	3360
39		t 0,2,3,4	Steriruncicantellated 7-simplex (capro)	(0,0,0,1,2,3,3,4)						13440	3360
40		t 1,2,3,4	Biruncicantitruncated 7-simplex (Gibpo)	(0,0,0,1,2,3,4,4)						11760	3360
41		t 0,1,2,5	Penticantitruncated 7-simplex (tegro)	(0,0,1,1,1,2,3,4)						18480	3360
42		t 0,1,3,5	Pentiruncitruncated 7-simplex (tapto)	(0,0,1,1,2,2,3,4)						27720	5040
43		t 0,2,3,5	Pentiruncicantellated 7-simplex (tapro)	(0,0,1,1,2,3,3,4)						25200	5040
44		t 1,2,3,5	Bistericantitruncated 7-simplex (bacogro)	(0,0,1,1,2,3,4,4)						22680	5040
45		t 0,1,4,5	Pentisteritruncated 7-simplex (tecto)	(0,0,1,2,2,2,3,4)						15120	3360
46		t 0,2,4,5	Pentistericantellated 7-simplex (tecro)	(0,0,1,2,2,3,3,4)						25200	5040
47		t 1,2,4,5	Bisteriruncitruncated 7-simplex (bicpath)	(0,0,1,2,2,3,4,4)						20160	5040
48		t 0,3,4,5	Pentisterirunciné 7-simplex (tacpo)	(0,0,1,2,3,3,3,4)						15120	3360
49		t 0,1,2,6	Hexicantitruncated 7-simplex (pugro)	(0,1,1,1,1,2,3,4)						8400	1680
50		t 0,1,3,6	Hexiruncitruncated 7-simplex (pugato)	(0,1,1,1,2,2,3,4)						20160	3360
51		t 0,2,3,6	Hexiruncicantellated 7-simplex (pugro)	(0,1,1,1,2,3,3,4)						16800	3360
52		t 0,1,4,6	Hexisteritruncated 7-simplex (pucto)	(0,1,1,2,2,2,3,4)						20160	3360
53		t 0,2,4,6	Hexistericantellated 7-simplex (pucroh)	(0,1,1,2,2,3,3,4)						30240	5040
54		t 0,1,5,6	7-simplex hexipentitronqué (putath)	(0,1,2,2,2,2,3,4)						8400	1680
55		t 0,1,2,3,4	Steriruncicantitruncated 7-simplex (gecco)	(0,0,0,1,2,3,4,5)						23520	6720
56		t 0,1,2,3,5	Pentiruncicantitruncated 7-simplex (tegapo)	(0,0,1,1,2,3,4,5)						45360	10080
57		t 0,1,2,4,5	Pentistericantitruncated 7-simplex (tecagro)	(0,0,1,2,2,3,4,5)						40320	10080
58		t 0,1,3,4,5	Pentisteriruncitruncated 7-simplex (tacpeto)	(0,0,1,2,3,3,4,5)						40320	10080
59		t 0,2,3,4,5	Pentisteriruncicantellated 7-simplex (tacpro)	(0,0,1,2,3,4,4,5)						40320	10080
60		t 1,2,3,4,5	Bisteriruncicantitruncated 7-simplex (gabach)	(0,0,1,2,3,4,5,5)						35280	10080
61		t 0,1,2,3,6	Hexiruncicantitruncated 7-simplex (pugopo)	(0,1,1,1,2,3,4,5)						30240	6720
62		t 0,1,2,4,6	Hexistericantitruncated 7-simplex (pucagro)	(0,1,1,2,2,3,4,5)						50400	10080
63		t 0,1,3,4,6	Hexisteriruncitruncated 7-simplex (pucpato)	(0,1,1,2,3,3,4,5)						45360	10080
64		t 0,2,3,4,6	Hexisteriruncicantellated 7-simplex (pucproh)	(0,1,1,2,3,4,4,5)						45360	10080
65		t 0,1,2,5,6	Hexipenticantitruncated 7-simplex (putagro)	(0,1,2,2,2,3,4,5)						30240	6720
66		t 0,1,3,5,6	Hexipentiruncitruncated 7-simplex (putpath)	(0,1,2,2,3,3,4,5)						50400	10080
67		t 0,1,2,3,4,5	Pentisteriruncicantitruncated 7-simplex (geto)	(0,0,1,2,3,4,5,6)						70560	20160
68		t 0,1,2,3,4,6	Hexisteriruncicantitruncated 7-simplex (pugaco)	(0,1,1,2,3,4,5,6)						80640	20160
69		t 0,1,2,3,5,6	Hexipentiruncicantitruncated 7-simplex (putgapo)	(0,1,2,2,3,4,5,6)						80640	20160
70		t 0,1,2,4,5,6	Hexipentistericantitruncated 7-simplex (putcagroh)	(0,1,2,3,3,4,5,6)						80640	20160
71		t 0,1,2,3,4,5,6	7-simplex omnitronqué (guph)	(0,1,2,3,4,5,6,7)						141120	40320

La famille B ₇

La famille B ₇ a une symétrie d'ordre 645120 (7 factorielle x 2 ⁷ ).

Il existe 127 formes basées sur toutes les permutations des diagrammes de Coxeter-Dynkin avec un ou plusieurs anneaux. Noms de Johnson et Bowers.

Voir également une liste de polytopes B7 pour les graphiques plan de Coxeter symétriques de ces polytopes.

B 7 polytopes uniformes
#	Diagramme de Coxeter-Dynkin notation T	Nom (BSA)	Point de base	Nombre d'éléments
				6	5	4	3	2	1	0
1	t 0 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex (zee)	(0,0,0,0,0,0,1) √2	128	448	672	560	280	84	14
2	t 1 {3,3,3,3,3,4}	Rectifié 7-orthoplex (rez)	(0,0,0,0,0,1,1) √2	142	1344	3360	3920	2520	840	84
3	t 2 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex birectifié (barz)	(0,0,0,0,1,1,1) √2	142	1428	6048	10640	8960	3360	280
4	t 3 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes trirectifiés (sez)	(0,0,0,1,1,1,1) √2	142	1428	6328	14560	15680	6720	560
5	t 2 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes birectifiés (bersa)	(0,0,1,1,1,1,1) √2	142	1428	5656	11760	13440	6720	672
6	t 1 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes rectifiés (rasa)	(0,1,1,1,1,1,1) √2	142	980	2968	5040	5152	2688	448
7	t 0 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes (hept)	(0,0,0,0,0,0,0) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)	14	84	280	560	672	448	128
8	t 0,1 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex tronqué (Taz)	(0,0,0,0,0,1,2) √2	142	1344	3360	4760	2520	924	168
9	t 0,2 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex cantellées (Sarz)	(0,0,0,0,1,1,2) √2	226	4200	15456	24080	19320	7560	840
dix	t 1,2 {3,3,3,3,3,4}	Bitruncated 7-orthoplex (Botaz)	(0,0,0,0,1,2,2) √2						4200	840
11	t 0,3 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex tronqué (Spaz)	(0,0,0,1,1,1,2) √2						23520	2240
12	t 1,3 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex bicantellées (Sebraz)	(0,0,0,1,1,2,2) √2						26880	3360
13	t 2,3 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex tronqué (Totaz)	(0,0,0,1,2,2,2) √2						10080	2240
14	t 0,4 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex stérique (Scaz)	(0,0,1,1,1,1,2) √2						33600	3360
15	t 1,4 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex bironciné (Sibpaz)	(0,0,1,1,1,2,2) √2						60480	6720
16	t 2,4 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes tricantellés (Strasaz)	(0,0,1,1,2,2,2) √2						47040	6720
17	t 2,3 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes tronqués (Tatsa)	(0,0,1,2,2,2,2) √2						13440	3360
18	t 0,5 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex pentelé (Staz)	(0,1,1,1,1,1,2) √2						20160	2688
19	t 1,5 {4,3,3,3,3,3}	Bistericated 7 cubes (Sabcosaz)	(0,1,1,1,1,2,2) √2						53760	6720
20	t 1,4 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes bironcinés (Sibposa)	(0,1,1,1,2,2,2) √2						67200	8960
21	t 1,3 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes bicantellés (Sibrosa)	(0,1,1,2,2,2,2) √2						40320	6720
22	t 1,2 {4,3,3,3,3,3}	Bitruncated 7 cubes (Betsa)	(0,1,2,2,2,2,2) √2						9408	2688
23	t 0,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes hexagonaux (Supposaz)	(0,0,0,0,0,0,1) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						5376	896
24	t 0,5 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes pentellés (Stesa)	(0,0,0,0,0,1,1) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						20160	2688
25	t 0,4 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes stérilisés (Scosa)	(0,0,0,0,1,1,1) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						35840	4480
26	t 0,3 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes tronqués (Spesa)	(0,0,0,1,1,1,1) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						33600	4480
27	t 0,2 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes cantellés (Sersa)	(0,0,1,1,1,1,1) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						16128	2688
28	t 0,1 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes tronqués (Tasa)	(0,1,1,1,1,1,1) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)	142	980	2968	5040	5152	3136	896
29	t 0,1,2 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex cantitruncated (Garz)	(0,1,2,3,3,3,3) √2						8400	1680
30	t 0,1,3 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex tronqué (Potaz)	(0,1,2,2,3,3,3) √2						50400	6720
31	t 0,2,3 {3,3,3,3,3,4}	Runcicantellated 7-orthoplex (Parz)	(0,1,1,2,3,3,3) √2						33600	6720
32	t 1,2,3 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex bicantitronqué (Gebraz)	(0,0,1,2,3,3,3) √2						30240	6720
33	t 0,1,4 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex stéréo (Catz)	(0,0,1,1,1,2,3) √2						107520	13440
34	t 0,2,4 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex stéricantellés (Craze)	(0,0,1,1,2,2,3) √2						141120	20160
35	t 1,2,4 {3,3,3,3,3,4}	Biruncitruncated 7-orthoplex (Baptiser)	(0,0,1,1,2,3,3) √2						120960	20160
36	t 0,3,4 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex stéréoscopique (Copaz)	(0,1,1,1,2,3,3) √2						67200	13440
37	t 1,3,4 {3,3,3,3,3,4}	Biruncicantellated 7-orthoplex (Boparz)	(0,0,1,2,2,3,3) √2						100800	20160
38	t 2,3,4 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes tricantitroniques (Gotrasaz)	(0,0,0,1,2,3,3) √2						53760	13440
39	t 0,1,5 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex pentitronqué (Tetaz)	(0,1,1,1,1,2,3) √2						87360	13440
40	t 0,2,5 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex penticantellées (Teroz)	(0,1,1,1,2,2,3) √2						188160	26880
41	t 1,2,5 {3,3,3,3,3,4}	Bisteritruncated 7-orthoplex (Boctaz)	(0,1,1,1,2,3,3) √2						147840	26880
42	t 0,3,5 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex pentirunciné (topaze)	(0,1,1,2,2,2,3) √2						174720	26880
43	t 1,3,5 {4,3,3,3,3,3}	Bistericantellated 7 cubes (Bacresaz)	(0,1,1,2,2,3,3) √2						241920	40320
44	t 1,3,4 {4,3,3,3,3,3}	Biruncicantellated 7 cubes (Bopresa)	(0,1,1,2,3,3,3) √2						120960	26880
45	t 0,4,5 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex pentistiqué (Tocaz)	(0,1,2,2,2,2,3) √2						67200	13440
46	t 1,2,5 {4,3,3,3,3,3}	Bisteritruncated 7 cubes (Bactasa)	(0,1,2,2,2,3,3) √2						147840	26880
47	t 1,2,4 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes Biruncitruncated (Biptesa)	(0,1,2,2,3,3,3) √2						134400	26880
48	t 1,2,3 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes bicantitronqués (Gibrosa)	(0,1,2,3,3,3,3) √2						47040	13440
49	t 0,1,6 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex hexitroniques (Putaz)	(0,0,0,0,0,1,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						29568	5376
50	t 0,2,6 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex hexicantellées (Puraz)	(0,0,0,0,1,1,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						94080	13440
51	t 0,4,5 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes pentistiqués (Tacosa)	(0,0,0,0,1,2,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						67200	13440
52	t 0,3,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes hexironcinés (Pupsez)	(0,0,0,1,1,1,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						134400	17920
53	t 0,3,5 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes pentironcinés (Tapsa)	(0,0,0,1,1,2,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						174720	26880
54	t 0,3,4 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes stéréoscopiques (Capsa)	(0,0,0,1,2,2,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						80640	17920
55	t 0,2,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes hexicantellés (Purosa)	(0,0,1,1,1,1,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						94080	13440
56	t 0,2,5 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes penticantellés (Tersa)	(0,0,1,1,1,2,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						188160	26880
57	t 0,2,4 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes stéricantellés (Carsa)	(0,0,1,1,2,2,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						161280	26880
58	t 0,2,3 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes Runcicantellated (Parsa)	(0,0,1,2,2,2,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						53760	13440
59	t 0,1,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes hexitroniques (Putsa)	(0,1,1,1,1,1,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						29568	5376
60	t 0,1,5 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes pentitronqués (Tetsa)	(0,1,1,1,1,2,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						87360	13440
61	t 0,1,4 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes stéréonconiques (Catsa)	(0,1,1,1,2,2,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						116480	17920
62	t 0,1,3 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes tronqués (Petsa)	(0,1,1,2,2,2,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						73920	13440
63	t 0,1,2 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes cantitroniques (Gersa)	(0,1,2,2,2,2,2) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						18816	5376
64	t 0,1,2,3 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex tronqué tronqué (Gopaz)	(0,1,2,3,4,4,4) √2						60480	13440
65	t 0,1,2,4 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex stéricantitruncated (Cogarz)	(0,0,1,1,2,3,4) √2						241920	40320
66	t 0,1,3,4 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex stéréoscopique (Captaz)	(0,0,1,2,2,3,4) √2						181440	40320
67	t 0,2,3,4 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex Steriruncicantellated (Caparz)	(0,0,1,2,3,3,4) √2						181440	40320
68	t 1,2,3,4 {3,3,3,3,3,4}	Biruncicantitruncated 7-orthoplex (Gibpaz)	(0,0,1,2,3,4,4) √2						161280	40320
69	t 0,1,2,5 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex pentico- tronconique (Tograz)	(0,1,1,1,2,3,4) √2						295680	53760
70	t 0,1,3,5 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex pentiruncitruncated (Toptaz)	(0,1,1,2,2,3,4) √2						443520	80640
71	t 0,2,3,5 {3,3,3,3,3,4}	Pentiruncicantellated 7-orthoplex (Toparz)	(0,1,1,2,3,3,4) √2						403200	80640
72	t 1,2,3,5 {3,3,3,3,3,4}	Bistericantitruncated 7-orthoplex (Becogarz)	(0,1,1,2,3,4,4) √2						362880	80640
73	t 0,1,4,5 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex pentisteritruncated (Tacotaz)	(0,1,2,2,2,3,4) √2						241920	53760
74	t 0,2,4,5 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex pentistéricantellées (Tocarz)	(0,1,2,2,3,3,4) √2						403200	80640
75	t 1,2,4,5 {4,3,3,3,3,3}	Bisteriruncitruncated 7 cubes (Bocaptosaz)	(0,1,2,2,3,4,4) √2						322560	80640
76	t 0,3,4,5 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex pentisterirunciné (Tecpaz)	(0,1,2,3,3,3,4) √2						241920	53760
77	t 1,2,3,5 {4,3,3,3,3,3}	Bistericantitruncated 7 cubes (Becgresa)	(0,1,2,3,3,4,4) √2						362880	80640
78	t 1,2,3,4 {4,3,3,3,3,3}	Biruncicantitruncated 7 cubes (Gibposa)	(0,1,2,3,4,4,4) √2						188160	53760
79	t 0,1,2,6 {3,3,3,3,3,4}	Hexicantitruncated 7-orthoplex (Pugarez)	(0,0,0,0,1,2,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						134400	26880
80	t 0,1,3,6 {3,3,3,3,3,4}	Hexiruncitruncated 7-orthoplex (Papataz)	(0,0,0,1,1,2,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						322560	53760
81	t 0,2,3,6 {3,3,3,3,3,4}	Hexiruncicantellated 7-orthoplex (Puparez)	(0,0,0,1,2,2,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						268800	53760
82	t 0,3,4,5 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes pentisterironcinés (Tecpasa)	(0,0,0,1,2,3,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						241920	53760
83	t 0,1,4,6 {3,3,3,3,3,4}	Hexisteritruncated 7-orthoplex (Pucotaz)	(0,0,1,1,1,2,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						322560	53760
84	t 0,2,4,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes hexistéricantellés (Pucrosaz)	(0,0,1,1,2,2,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						483840	80640
85	t 0,2,4,5 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes pentistéricantellés (Tecresa)	(0,0,1,1,2,3,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						403200	80640
86	t 0,2,3,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes hexiruncicantellated (Pupresa)	(0,0,1,2,2,2,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						268800	53760
87	t 0,2,3,5 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes pentiruncicantellated (Topresa)	(0,0,1,2,2,3,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						403200	80640
88	t 0,2,3,4 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes Steriruncicantellated (Copresa)	(0,0,1,2,3,3,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						215040	53760
89	t 0,1,5,6 {4,3,3,3,3,3}	7-cube hexipentitronqué (Putatosez)	(0,1,1,1,1,2,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						134400	26880
90	t 0,1,4,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes hexistroniques (Pacutsa)	(0,1,1,1,2,2,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						322560	53760
91	t 0,1,4,5 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes pentisteritruncated (Tecatsa)	(0,1,1,1,2,3,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						241920	53760
92	t 0,1,3,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes hexironcitoniques (Pupetsa)	(0,1,1,2,2,2,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						322560	53760
93	t 0,1,3,5 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes pentiruncitruncated (Toptosa)	(0,1,1,2,2,3,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						443520	80640
94	t 0,1,3,4 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes stéréoscopiques (Captesa)	(0,1,1,2,3,3,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						215040	53760
95	t 0,1,2,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes hexicantitruncated (Pugrosa)	(0,1,2,2,2,2,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						134400	26880
96	t 0,1,2,5 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes penticantitruncated (Togresa)	(0,1,2,2,2,3,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						295680	53760
97	t 0,1,2,4 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes stéroïdiens tronconiques (Cogarsa)	(0,1,2,2,3,3,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						268800	53760
98	t 0,1,2,3 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes tronqués tronqués (Gapsa)	(0,1,2,3,3,3,3) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						94080	26880
99	t 0,1,2,3,4 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex Steriruncicantitruncated (Gocaz)	(0,0,1,2,3,4,5) √2						322560	80640
100	t 0,1,2,3,5 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex pentiruncicantitruncated (Tegopaz)	(0,1,1,2,3,4,5) √2						725760	161280
101	t 0,1,2,4,5 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex pentistéricantitruncated (Tecagraz)	(0,1,2,2,3,4,5) √2						645120	161280
102	t 0,1,3,4,5 {3,3,3,3,3,4}	Pentisteriruncitruncated 7-orthoplex (Tecpotaz)	(0,1,2,3,3,4,5) √2						645120	161280
103	t 0,2,3,4,5 {3,3,3,3,3,4}	Pentisteriruncicantellated 7-orthoplex (Tacparez)	(0,1,2,3,4,4,5) √2						645120	161280
104	t 1,2,3,4,5 {4,3,3,3,3,3}	Bisteriruncicantitruncated 7-cube (Gabcosaz)	(0,1,2,3,4,5,5) √2						564480	161280
105	t 0,1,2,3,6 {3,3,3,3,3,4}	Hexiruncicantitruncated 7-orthoplex (Pugopaz)	(0,0,0,1,2,3,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						483840	107520
106	t 0,1,2,4,6 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex hexistéricantitruncated (Pucagraz)	(0,0,1,1,2,3,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						806400	161280
107	t 0,1,3,4,6 {3,3,3,3,3,4}	Hexisteriruncitruncated 7-orthoplex (Pucpotaz)	(0,0,1,2,2,3,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						725760	161280
108	t 0,2,3,4,6 {4,3,3,3,3,3}	Hexisteriruncicantellated 7 cubes (Pucprosaz)	(0,0,1,2,3,3,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						725760	161280
109	t 0,2,3,4,5 {4,3,3,3,3,3}	Pentisteriruncicantellated 7-cube (Tocpresa)	(0,0,1,2,3,4,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						645120	161280
110	t 0,1,2,5,6 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex hexipenticantitruncated (Putegraz)	(0,1,1,1,2,3,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						483840	107520
111	t 0,1,3,5,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes hexipentaires non tronqués (Putpetsaz)	(0,1,1,2,2,3,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						806400	161280
112	t 0,1,3,4,6 {4,3,3,3,3,3}	Hexisteriruncitruncated 7 cubes (Pucpetsa)	(0,1,1,2,3,3,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						725760	161280
113	t 0,1,3,4,5 {4,3,3,3,3,3}	Pentisteriruncitruncated 7 cubes (Tecpetsa)	(0,1,1,2,3,4,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						645120	161280
114	t 0,1,2,5,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes hexipentiques antitruncated (Putgresa)	(0,1,2,2,2,3,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						483840	107520
115	t 0,1,2,4,6 {4,3,3,3,3,3}	7-cube hexistéricantitronqué (Pucagrosa)	(0,1,2,2,3,3,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						806400	161280
116	t 0,1,2,4,5 {4,3,3,3,3,3}	Pentistericantitruncated 7-cube (Tecgresa)	(0,1,2,2,3,4,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						645120	161280
117	t 0,1,2,3,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes hexiruncicantitruncated (Pugopsa)	(0,1,2,3,3,3,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						483840	107520
118	t 0,1,2,3,5 {4,3,3,3,3,3}	Pentiruncicantitruncated 7-cube (Togapsa)	(0,1,2,3,3,4,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						725760	161280
119	t 0,1,2,3,4 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes Steriruncicantitruncated (Gacosa)	(0,1,2,3,4,4,4) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						376320	107520
120	t 0,1,2,3,4,5 {3,3,3,3,3,4}	Pentisteriruncicantitruncated 7-orthoplex (Gotaz)	(0,1,2,3,4,5,6) √2						1128960	322560
121	t 0,1,2,3,4,6 {3,3,3,3,3,4}	Hexisteriruncicantitruncated 7-orthoplex (Pugacaz)	(0,0,1,2,3,4,5) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						1290240	322560
122	t 0,1,2,3,5,6 {3,3,3,3,3,4}	7-orthoplex hexipentiruncicantitruncated (Putgapaz)	(0,1,1,2,3,4,5) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						1290240	322560
123	t 0,1,2,4,5,6 {4,3,3,3,3,3}	7-cube hexipentistéricantitronqué (Putcagrasaz)	(0,1,2,2,3,4,5) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						1290240	322560
124	t 0,1,2,3,5,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes hexipentiruncicantitruncated (Putgapsa)	(0,1,2,3,3,4,5) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						1290240	322560
125	t 0,1,2,3,4,6 {4,3,3,3,3,3}	Hexisteriruncicantitruncated 7 cubes (Pugacasa)	(0,1,2,3,4,4,5) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						1290240	322560
126	t 0,1,2,3,4,5 {4,3,3,3,3,3}	Pentisteriruncicantitruncated 7 cubes (Gotesa)	(0,1,2,3,4,5,5) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						1128960	322560
127	t 0,1,2,3,4,5,6 {4,3,3,3,3,3}	7 cubes omnitronqués (Guposaz)	(0,1,2,3,4,5,6) √2 + (1,1,1,1,1,1,1)						2257920	645120

La famille D ₇

La famille D ₇ a une symétrie d'ordre 322560 (7 factorielle x 2 ⁶ ).

Cette famille a 3 × 32−1 = 95 polytopes uniformes wythoffiens, générés en marquant un ou plusieurs nœuds du diagramme D _{7 de} Coxeter-Dynkin . Parmi ceux-ci, 63 (2 × 32−1) sont répétés dans la famille B ₇ et 32 ​​sont uniques à cette famille, énumérés ci-dessous. Les noms et acronymes de Bowers sont donnés pour les renvois.

Voir aussi la liste des polytopes D7 pour les graphes plan de Coxeter de ces polytopes.

D 7 polytopes uniformes
#	Diagramme de Coxeter	Des noms	Point de base (signé alternativement)	Nombre d'éléments
				6	5	4	3	2	1	0
1	=	Demihepteract 7 cubes (hesa)	(1,1,1,1,1,1,1)	78	532	1624	2800	2240	672	64
2	=	Demihepteract tronqué à 7 cubes cantic (thesa)	(1,1,3,3,3,3,3)	142	1428	5656	11760	13440	7392	1344
3	=	petit demihepteract rhombé runcic 7 cubes (sirhesa)	(1,1,1,3,3,3,3)						16800	2240
4	=	Demiheptéract prismé stérique de 7 cubes (sphosa)	(1,1,1,1,3,3,3)						20160	2240
5	=	demihepteract pentique de 7 cubes à petites cellules (sochesa)	(1,1,1,1,1,3,3)						13440	1344
6	=	petit demihepteract téré hexique de 7 cubes (suthesa)	(1,1,1,1,1,1,3)						4704	448
7	=	runcicantic 7 cubes grand demihepteract losange (Girhesa)	(1,1,3,5,5,5,5)						23520	6720
8	=	Demiheptéract prismatotruncated stéricantic 7 cubes (pothesa)	(1,1,3,3,5,5,5)						73920	13440
9	=	Prismateur Steriruncic à 7 cubes Demihepteract domestique (prohesa)	(1,1,1,3,5,5,5)						40320	8960
dix	=	Cellule penticantic 7 cubes demiheptéract tronconique (cothesa)	(1,1,3,3,3,5,5)						87360	13440
11	=	Cellule pentironcique à 7 cubes demihepteract bombé (crohesa)	(1,1,1,3,3,5,5)						87360	13440
12	=	Demihepteract à 7 cubes pentistérique (caphesa)	(1,1,1,1,3,5,5)						40320	6720
13	=	Demihepteract tericantic 7 cubes hexicantique (tuthesa)	(1,1,3,3,3,3,5)						43680	6720
14	=	Demihepteract hexiruncic 7 cubes terirhombated (turhesa)	(1,1,1,3,3,3,5)						67200	8960
15	=	Demihepteract teriprismated 7 cubes hexistérique (tuphesa)	(1,1,1,1,3,3,5)						53760	6720
16	=	Demihepteract ticellé hexipentique de 7 cubes (tuchesa)	(1,1,1,1,1,3,5)						21504	2688
17	=	Steriruncicantic 7 cubes grand demiheptéract prismé (Gephosa)	(1,1,3,5,7,7,7)						94080	26880
18	=	Cellule pentironcicantique à 7 cubesreatorhombated demihepteract (cagrohesa)	(1,1,3,5,5,7,7)						181440	40320
19	=	Cellule pentistéricantique à 7 cubesiprismatotrun demiheptéract (capthesa)	(1,1,3,3,5,7,7)						181440	40320
20	=	Celliprismator pentisteriruncic 7 cubes demihepteract bombé (coprahesa)	(1,1,1,3,5,7,7)						120960	26880
21	=	terigréateur hexiruncicantic 7 cubes demihepteract (tugrohesa)	(1,1,3,5,5,5,7)						120960	26880
22	=	Tériprisme hexistéricantique à 7 cubes, demiheptéract non tronqué (tupthesa)	(1,1,3,3,5,5,7)						221760	40320
23	=	teriprismator hexisteriruncic 7 cubes demihepteract bombé (tuprohesa)	(1,1,1,3,5,5,7)						134400	26880
24	=	Hexipenticantic 7-cube teri Demihepteract cellitronqué (tucothesa)	(1,1,3,3,3,5,7)						147840	26880
25	=	hexipentiruncic 7-cube tericellirhombated demihepteract (tucrohesa)	(1,1,1,3,3,5,7)						161280	26880
26	=	Demiheptéract hexipentistérique à 7 cubes tericelliprismated (tucophesa)	(1,1,1,1,3,5,7)						80640	13440
27	=	pentisteriruncicantic 7 cubes grand demihepteract à cellules (gochesa)	(1,1,3,5,7,9,9)						282240	80640
28	=	Hexisteriruncicantic 7-cube terigreatoprimated demiheptteract (tugphesa)	(1,1,3,5,7,7,9)						322560	80640
29	=	hexipentiruncicantic 7-cube tericelligreatorhombated demihepteract (tucagrohesa)	(1,1,3,5,5,7,9)						322560	80640
30	=	hexipentistericantic 7-cube tericelliprismatotruncated demiheptteract (tucpathesa)	(1,1,3,3,5,7,9)						362880	80640
31	=	hexipentisteriruncic 7-cube tericellprismatorhombated demihepteract (tucprohesa)	(1,1,1,3,5,7,9)						241920	53760
32	=	hexipentisteriruncicantic 7 cubes grand demihepteract terated (guthesa)	(1,1,3,5,7,9,11)						564480	161280

La famille E ₇

Le groupe E ₇ Coxeter a la commande 2 903 040.

Il existe 127 formes basées sur toutes les permutations des diagrammes de Coxeter-Dynkin avec un ou plusieurs anneaux.

Voir également une liste de polytopes E7 pour les graphiques plan de Coxeter symétriques de ces polytopes.

E 7 polytopes uniformes
#	Diagramme de Coxeter-Dynkin Symbole Schläfli	Des noms	Nombre d'éléments
			6	5	4	3	2	1	0
1		2 31 (laq)	632	4788	16128	20160	10080	2016	126
2		Rectifié 2 31 (rolaq)	758	10332	47880	100800	90720	30240	2016
3		Rectifié 1 32 (rolin)	758	12348	72072	191520	241920	120960	10080
4		1 32 (lin)	182	4284	23688	50400	40320	10080	576
5		Birectifié 3 21 (branq)	758	12348	68040	161280	161280	60480	4032
6		Rectifié 3 21 (ranq)	758	44352	70560	48384	11592	12096	756
7		3 21 (naq)	702	6048	12096	10080	4032	756	56
8		Tronqué 2 31 (talq)	758	10332	47880	100800	90720	32256	4032
9		Cantellé 2 31 (sirlaq)						131040	20160
dix		Bitruncated 2 31 (botlaq)							30240
11		petit démifié 2 31 (shilq)	2774	22428	78120	151200	131040	42336	4032
12		démirectifié 2 31 (hirlaq)							12096
13		tronqué 1 32 (tolin)							20160
14		petit demiprismated 2 31 (shiplaq)							20160
15		birectified 1 32 (berlin)	758	22428	142632	403200	544320	302400	40320
16		tronqué 3 21 (totanq)							40320
17		démibirectifié 3 21 (hobranq)							20160
18		petite cellule 2 31 (scalq)							7560
19		petit biprismé 2 31 (sobpalq)							30240
20		petit birhombated 3 21 (sabranq)							60480
21		démirectifié 3 21 (harnaq)							12096
22		bitruncated 3 21 (botnaq)							12096
23		petit terated 3 21 (stanq)							1512
24		petit démicellé 3 21 (shocanq)							12096
25		petit prismé 3 21 (spanq)							40320
26		petit démifié 3 21 (shanq)							4032
27		petit losange 3 21 (sranq)							12096
28		Tronqué 3 21 (tanq)	758	11592	48384	70560	44352	12852	1512
29		grand losange 2 31 (girlaq)							60480
30		démitruncated 2 31 (hotlaq)							24192
31		petit demirhombated 2 31 (sherlaq)							60480
32		démibitronqué 2 31 (hobtalq)							60480
33		demiprismated 2 31 (hiptalq)							80640
34		demiprismatorhombated 2 31 (hiprolaq)							120960
35		bitruncated 1 32 (batlin)							120960
36		petit prismé 2 31 (spalq)							80640
37		petit losange 1 32 (sirlin)							120960
38		tronqué 2 31 (tatilq)							80640
39		cellitruncated 2 31 (catalaq)							60480
40		cellirhombated 2 31 (crilq)							362880
41		biprismatotruncated 2 31 (biptalq)							181440
42		petit prismé 1 32 (seplin)							60480
43		petit biprismé 3 21 (sabipnaq)							120960
44		petit demi-bombé 3 21 (shobranq)							120960
45		cellidemiprismated 2 31 (chaplaq)							60480
46		demibiprismatotruncated 3 21 (hobpotanq)							120960
47		grand birhombated 3 21 (gobranq)							120960
48		démibitronqué 3 21 (hobtanq)							60480
49		teritruncated 2 31 (totalq)							24192
50		terirhombated 2 31 (trilq)							120960
51		démicelliprismé 3 21 (hicpanq)							120960
52		petit teridemified 2 31 (sethalq)							24192
53		petite cellule 3 21 (scanq)							60480
54		demiprismated 3 21 (hipnaq)							80640
55		terirhombated 3 21 (tranq)							60480
56		démicellirhombated 3 21 (hocranq)							120960
57		prismatorhombated 3 21 (pranq)							120960
58		petit demirhombated 3 21 (sharnaq)							60480
59		teritruncated 3 21 (tétanq)							15120
60		démicellitruncated 3 21 (hictanq)							60480
61		prismatotruncated 3 21 (potanq)							120960
62		démitruncated 3 21 (hotnaq)							24192
63		grand losange 3 21 (granq)							24192
64		grand démifié 2 31 (gahlaq)							120960
65		grand demiprismated 2 31 (gahplaq)							241920
66		prismatotruncated 2 31 (potlaq)							241920
67		prismatorhombated 2 31 (prolaq)							241920
68		grand losange 1 32 (girlin)							241920
69		celligreatorhombated 2 31 (cagrilq)							362880
70		cellidemitruncated 2 31 (chotalq)							241920
71		prismatotruncated 1 32 (patlin)							362880
72		biprismatorhombated 3 21 (bipirnaq)							362880
73		tronqué 1 32 (tatlin)							241920
74		cellidemiprismatorhombated 2 31 (chopralq)							362880
75		grand demibiprismated 3 21 (ghobipnaq)							362880
76		celliprismated 2 31 (caplaq)							241920
77		biprismatotruncated 3 21 (boptanq)							362880
78		grand trirhombated 2 31 (gatralaq)							241920
79		terigreatorhombated 2 31 (togrilq)							241920
80		teridemitruncated 2 31 (thotalq)							120960
81		teridemirhombated 2 31 (thorlaq)							241920
82		celliprismated 3 21 (capnaq)							241920
83		teridemiprismatotruncated 2 31 (thoptalq)							241920
84		teriprismatorhombated 3 21 (tapronaq)							362880
85		démicelliprismatorhombated 3 21 (hacpranq)							362880
86		teriprismated 2 31 (toplaq)							241920
87		cellirhombated 3 21 (cranq)							362880
88		demiprismatorhombated 3 21 (hapranq)							241920
89		téricellitronqué 2 31 (tectalq)							120960
90		tériprisme non tronqué 3 21 (toptanq)							362880
91		demicelliprismatotruncated 3 21 (hecpotanq)							362880
92		teridemitruncated 3 21 (thotanq)							120960
93		cellitruncated 3 21 (catnaq)							241920
94		demiprismatotruncated 3 21 (hiptanq)							241920
95		terigreatorhombated 3 21 (tagranq)							120960
96		demicelligreatorhombated 3 21 (hicgarnq)							241920
97		grand prismé 3 21 (gopanq)							241920
98		grand demirhombated 3 21 (gahranq)							120960
99		grand prismé 2 31 (gopalq)							483840
100		grand cellidemified 2 31 (gechalq)							725760
101		grand birhombated 1 32 (gebrolin)							725760
102		prismatorhombated 1 32 (proline)							725760
103		celliprismatorhombated 2 31 (caprolaq)							725760
104		grand biprismé 2 31 (gobpalq)							725760
105		tericelliprismated 3 21 (ticpanq)							483840
106		teridemigreatoprismated 2 31 (thegpalq)							725760
107		tériprisme non tronqué 2 31 (teptalq)							725760
108		teriprismatorhombated 2 31 (topralq)							725760
109		cellipriemsatorhombated 3 21 (copranq)							725760
110		tericelligreatorhombated 2 31 (tecgrolaq)							725760
111		téricellitruncated 3 21 (tectanq)							483840
112		teridemiprismatotruncated 3 21 (thoptanq)							725760
113		celliprismatotruncated 3 21 (coptanq)							725760
114		teridemicelligreatorhombated 3 21 (thocgranq)							483840
115		terigreatoprismated 3 21 (tagpanq)							725760
116		grand démicellé 3 21 (gahcnaq)							725760
117		tericelliprismated laq (tecpalq)							483840
118		celligreatorhombated 3 21 (cogranq)							725760
119		grand démifié 3 21 (gahnq)							483840
120		grand cellulaire 2 31 (gocalq)							1451520
121		terigreatoprismated 2 31 (tegpalq)							1451520
122		tericelliprismatotruncated 3 21 (tecpotniq)							1451520
123		téricellideémigréatoprismé 2 31 (techogaplaq)							1451520
124		tericelligreatorhombated 3 21 (tacgarnq)							1451520
125		tericelliprismatorhombated 2 31 (tecprolaq)							1451520
126		grand cellulaire 3 21 (gocanq)							1451520
127		super terated 3 21 (gotanq)							2903040

Nids d'abeilles réguliers et uniformes

Il existe cinq groupes de Coxeter affines fondamentaux et seize groupes prismatiques qui génèrent des pavages réguliers et uniformes dans l'espace 6:

#	Groupe Coxeter		Diagramme de Coxeter	Formes
1	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {6}}$	[3 [7] ]		17
2	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{6}}$	[4,3 4 , 4]		71
3	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {6}}$	h [4,3 4 , 4] [4,3 3 , 3 1,1 ]		95 (32 nouveaux)
4	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {6}}$	q [4,3 4 , 4] [3 1,1 , 3 2 , 3 1,1 ]		41 (6 nouveaux)
5	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$	[3 2,2,2 ]		39

Les pavages réguliers et uniformes comprennent:

• ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {6}}$, 17 formulaires
  • Nid d'abeille uniforme à 6 simplex : {3 ^[7] }
  • Nid d'abeilles 6 simplex cyclotronqué uniforme : t _0,1 {3 ^[7] }
  • Nid d'abeilles 6 simplex omnitrunc uniforme : t _{0,1,2,3,4,5,6,7} {3 ^[7] }
• ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{6}}$, [4,3 ⁴ , 4], 71 formes
  • Nid d'abeille régulier de 6 cubes , représenté par des symboles {4,3 ⁴ , 4},
• ${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {6}}$, [3 ^1,1 , 3 ³ , 4], 95 formulaires, 64 partagés avec , 32 nouveaux ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{6}}$
  • Nid d'abeille uniforme à 6 demi-tubes , représenté par les symboles h {4,3 ⁴ , 4} = {3 ^1,1 , 3 ³ , 4}, =
• ${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {6}}$, [3 ^1,1 , 3 ² , 3 ^1,1 ], 41 permutations annelées uniques, la plupart partagées avec et , et 6 sont nouvelles. Coxeter appelle le premier un nid d'abeille quart de 6 cubes . ${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {6}}$${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{6}}$
  • =
  • =
  • =
  • =
  • =
  • =
• ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$: [3 ^2,2,2 ], 39 formes
  • Uniform 2 ₂₂ nid d'abeille : représenté par des symboles {3,3,3 ^2,2 },
  • Nid d'abeille uniforme t ₄ (2 ₂₂ ): 4r {3,3,3 ^2,2 },
  • Nid d' abeille uniforme 0 ₂₂₂ : {3 ^2,2,2 },
  • Nid d' abeille uniforme t ₂ (0 ₂₂₂ ): 2r {3 ^2,2,2 },

Groupes prismatiques

#	Groupe Coxeter		Diagramme de Coxeter-Dynkin
1	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$X${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [6] , 2, ∞]
2	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$X${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,3 1,1 , 2, ∞]
3	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}$X${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3 3 , 4,2, ∞]
4	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$X${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 1,1 , 3,3 1,1 , 2, ∞]
5	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [5] , 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
6	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,3 1,1 , 2, ∞, 2, ∞]
7	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{4}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,3,4,2, ∞, 2, ∞]
8	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 1,1,1,1 , 2, ∞, 2, ∞]
9	${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3,4,3,3,2, ∞, 2, ∞]
dix	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$x x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,4,2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
11	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$x x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3 1,1 , 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
12	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$x x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [4] , 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
13	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$x x x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2, ∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
14	${\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {2}}$x x x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[6,3,2, ∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
15	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$x x x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [3] , 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
16	${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$x x x x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]

Nids d'abeilles hyperboliques réguliers et uniformes

Il n'y a pas de groupes de Coxeter hyperboliques compacts de rang 7, des groupes qui peuvent générer des nids d'abeilles avec toutes les facettes finies et une figure de sommet finie . Cependant, il existe 3 groupes de Coxeter hyperboliques paracompacts de rang 7, chacun générant des nids d'abeilles uniformes dans l'espace 6 sous forme de permutations d'anneaux des diagrammes de Coxeter.

${\ displaystyle {\ bar {P}} _ {6}}$= [3,3 [6] ]:

${\ displaystyle {\ bar {Q}} _ {6}}$= [3 1,1 , 3,3 2,1 ]:

${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {6}}$= [4,3,3,3 2,1 ]:

Notes sur la construction Wythoff pour les 7-polytopes uniformes

Les polytopes uniformes réfléchissants à 7 dimensions sont construits selon un processus de construction Wythoff , et représentés par un diagramme de Coxeter-Dynkin , où chaque nœud représente un miroir. Un miroir actif est représenté par un nœud en anneau. Chaque combinaison de miroirs actifs génère un polytope uniforme unique. Les polytopes uniformes sont nommés en relation avec les polytopes réguliers de chaque famille. Certaines familles ont deux constructeurs réguliers et peuvent donc être nommées de deux manières également valides.

Voici les principaux opérateurs disponibles pour construire et nommer les 7-polytopes uniformes.

Les formes prismatiques et les graphiques bifurquants peuvent utiliser la même notation d'indexation par troncature, mais nécessitent un système de numérotation explicite sur les nœuds pour plus de clarté.

Opération	Symbole Schläfli étendu	Coxeter- Dynkin diagramme	La description
Parent	t 0 {p, q, r, s, t, u}		Tout polytope 7 régulier
Rectifié	t 1 {p, q, r, s, t, u}		Les arêtes sont entièrement tronquées en points uniques. Le 7-polytope a maintenant les faces combinées du parent et du double.
Birectifié	t 2 {p, q, r, s, t, u}		La birectification réduit les cellules à leurs duales .
Tronqué	t 0,1 {p, q, r, s, t, u}		Chaque sommet d'origine est coupé, une nouvelle face remplissant le vide. La troncature a un degré de liberté, qui a une solution qui crée un 7-polytope tronqué uniforme. Le 7-polytope a ses faces d'origine doublées sur les côtés et contient les faces du double.
Bitruncated	t 1,2 {p, q, r, s, t, u}		Bitrunction transforme les cellules en leur double troncature.
Tronqué	t 2,3 {p, q, r, s, t, u}		La troncature transforme les 4 faces en leur double troncature.
Cantellé	t 0,2 {p, q, r, s, t, u}		En plus de la troncature des sommets, chaque arête d'origine est biseautée avec de nouvelles faces rectangulaires apparaissant à leur place. Une cantellation uniforme est à mi-chemin entre les formes parentale et double.
Bicantellé	t 1,3 {p, q, r, s, t, u}		En plus de la troncature des sommets, chaque arête d'origine est biseautée avec de nouvelles faces rectangulaires apparaissant à leur place. Une cantellation uniforme est à mi-chemin entre les formes parentale et double.
Ronciné	t 0,3 {p, q, r, s, t, u}		La roncature réduit les cellules et crée de nouvelles cellules aux sommets et aux arêtes.
Birunciné	t 1,4 {p, q, r, s, t, u}		La roncature réduit les cellules et crée de nouvelles cellules aux sommets et aux arêtes.
Stériqué	t 0,4 {p, q, r, s, t, u}		La stérilisation réduit les 4 faces et crée de nouvelles 4 faces aux sommets, arêtes et faces des espaces.
Pentellé	t 0,5 {p, q, r, s, t, u}		La pentellation réduit les 5 faces et crée de nouvelles 5 faces aux sommets, arêtes, faces et cellules des espaces.
Hexiqué	t 0,6 {p, q, r, s, t, u}		L'hexication réduit les 6 faces et crée de nouvelles 6 faces aux sommets, arêtes, faces, cellules et 4 faces des espaces. ( opération d' expansion pour 7-polytopes)
Omnitruncated	t 0,1,2,3,4,5,6 {p, q, r, s, t, u}		Les six opérateurs, troncature, cantellation, runcination, stérication, pentellation et hexication sont appliqués.

Les références

• T.Gosset : Sur les figures régulières et semi-régulières dans l'espace de n dimensions , Messager des mathématiques , Macmillan, 1900
• A. Boole Stott : Déduction géométrique de semi-régulier à partir de polytopes réguliers et de remplissages d'espace , Verhandelingen de la Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins et JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3e édition, Dover New York, 1973
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , édité par F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 http: // www. wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html
  • (Papier 22) HSM Coxeter, Polytopes réguliers et semi-réguliers I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Papier 23) HSM Coxeter, Polytopes II régulier et semi-régulier , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Papier 24) HSM Coxeter, Polytopes réguliers et semi-réguliers III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NW Johnson : The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Dissertation, Université de Toronto, 1966
• Klitzing, Richard. "Polytopes uniformes 7D (polyexa)" .

Liens externes

• Noms de polytope
• Polytopes de différentes dimensions
• Glossaire multidimensionnel
• Glossaire de l'hyperespace , George Olshevsky.

v t e Polytopes fondamentaux convexes réguliers et uniformes dans les dimensions 2–10
Famille	Un n	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Polygone régulier	Triangle	Carré	p-gon	Hexagone	Pentagone
Polyèdre uniforme	Tétraèdre	Octaèdre • Cube	Demicube		Dodécaèdre • Icosaèdre
4-polytope uniforme	5 cellules	16 cellules • Tesseract	Demitesseract	24 cellules	120 cellules • 600 cellules
Uniforme 5-polytope	5-simplex	5-orthoplex • 5 cubes	5-demicube
Uniforme 6-polytope	6 simplex	6-orthoplex • 6-cube	6-demicube	1 22 • 2 21
Uniforme 7-polytope	7-simplex	7-orthoplex • 7-cube	7-demicube	1 32 • 2 31 • 3 21
Uniforme 8-polytope	8 simplex	8 orthoplex • 8 cubes	8-demicube	1 42 • 2 41 • 4 21
Uniforme 9-polytope	9-simplex	9-orthoplex • 9-cube	9-demicube
Uniforme 10-polytope	10-simplex	10-orthoplex • 10-cube	10-demicube
Uniforme n - polytope	n - simplex	n - orthoplex • n - cube	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - polytope pentagonal
Sujets: familles Polytope • polytope régulier • Liste des polyèdres réguliers et composés