Fonction de plusieurs variables réelles - Function of several real variables

Dans l'analyse mathématique ses applications, une fonction de plusieurs variables réelles ou une fonction multivariée réelle est une fonction avec plus d'un argument , tous les arguments étant des variables réelles . Ce concept étend l'idée d'une fonction d'une variable réelle à plusieurs variables. Les variables "d'entrée" prennent des valeurs réelles, tandis que la "sortie", également appelée "valeur de la fonction", peut être réelle ou complexe . Cependant, l'étude des fonctions valuées complexes peut être facilement réduite à l'étude des fonctions valuées réelles, en considérant les parties réelle et imaginaire de la fonction complexe ; par conséquent, à moins que cela ne soit explicitement spécifié, seules les fonctions à valeur réelle seront prises en compte dans cet article.

Le domaine d'une fonction de n variables est le sous - ensemble de $R n$ pour lequel la fonction est définie. Comme d'habitude, le domaine d'une fonction de plusieurs variables réelles est supposé contenir un ouvert non vide de $R n$ .

Définition générale

n = 1

n = 2

n = 3

Fonctions

f (x 1, x 2, \dots, x n)

de

n

variables, tracées sous forme de graphiques dans l'espace

R n + 1

. Les domaines sont les régions rouges à

n

dimensions, les images sont les courbes violettes à

n

dimensions.

Une fonction à valeur réelle de $n$ variables réelles est une fonction qui prend en entrée $n$ nombres réels , communément représentés par les variables $x 1, x 2, \dots, x n$ , pour produire un autre nombre réel, la valeur de la fonction, communément notée $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ . Pour plus de simplicité, dans cet article, une fonction à valeur réelle de plusieurs variables réelles sera simplement appelée fonction . Pour éviter toute ambiguïté, les autres types de fonctions pouvant survenir seront explicitement spécifiés.

Certaines fonctions sont définies pour toutes les valeurs réelles des variables (on dit qu'elles sont définies partout), mais d'autres fonctions ne sont définies que si la valeur de la variable est prise dans un sous-ensemble $X$ de $R n$ , le domaine de la fonction, qui est toujours supposé contenir un sous-ensemble ouvert de $R n$ . En d'autres termes, une fonction à valeur réelle de $n$ variables réelles est une fonction

f:X\to \mathbb {R}

tel que son domaine $X$ est un sous-ensemble de $R n$ qui contient un ouvert non vide.

Un élément de $X$ étant un $n$ - uplet $(x 1, x 2, \dots, x n)$ (généralement délimité par des parenthèses), la notation générale pour désigner les fonctions serait $f ((x 1, x 2, \dots, x n) )$ . L'usage courant, bien plus ancien que la définition générale des fonctions entre ensembles, est de ne pas utiliser de doubles parenthèses et d'écrire simplement $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ .

Il est également courant d'abréger le $n-$ uplet $(x 1, x 2, \dots, x n)$ en utilisant une notation similaire à celle des vecteurs , comme gras $x$ , souligné $x$ ou overarrow $x \to$ . Cet article utilisera gras.

Un exemple simple d'une fonction à deux variables pourrait être :

{\begin{aligned}&V:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(A,h)\in \mathbb {R} ^{2}\mid A>0,h >0\right\}\\&V(A,h)={\frac {1}{3}}Ah\end{aligned}}

qui est le volume $V$ d'un cône d'aire de base $A$ et de hauteur $h$ mesuré perpendiculairement à la base. Le domaine restreint toutes les variables à être positives puisque les longueurs et les aires doivent être positives.

Pour un exemple de fonction à deux variables :

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \\&z(x,y)=ax+by\end{aligned}}

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles non nulles. En utilisant le système de coordonnées cartésiennes à trois dimensions , où le plan xy est le domaine $R$ $2$ et l'axe z est le codomaine $R$ , on peut visualiser l'image comme étant un plan à deux dimensions, avec une pente de $a$ dans la direction x positive et une pente de $b$ dans la direction y positive. La fonction est bien définie en tout point $($ $x$ $,$ $y$ $)$ dans $R$ $2$ . L'exemple précédent peut être étendu facilement à des dimensions supérieures :

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} \\&z(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})= a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{p}x_{p}\end{aligned}}

pour $p$ constantes réelles non nulles $a 1, a 2, \dots, a p$ , qui décrit un hyperplan de dimension $p$ .

La norme euclidienne :

f({\boldsymbol {x}})=\|{\boldsymbol {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2} }}

est aussi une fonction de n variables qui est définie partout, tandis que

g({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{f({\boldsymbol {x}})}}

est défini uniquement pour $x \neq (0, 0, \dots, 0)$ .

Pour un exemple de fonction non linéaire à deux variables :

{\begin{aligned}&z:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,x^ {2}+y^{2}\leq 8\,,\,x\neq 0\,,\,y\neq 0\right\}\\&z(x,y)={\frac {1}{ 2xy}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}

qui prend en tous points en $X$ , un disque de rayon $\sqrt 8$ "percé" à l'origine $(x, y) = (0, 0)$ dans le plan $R 2$ , et renvoie un point en $R$ . La fonction n'inclut pas l'origine $(x, y) = (0, 0)$ , si c'était le cas, alors $f$ serait mal défini à ce stade. En utilisant un système de coordonnées cartésiennes 3D avec le plan xy comme domaine $R 2$ et l'axe z le codomaine $R$ , l'image peut être visualisée comme une surface courbe.

La fonction peut être évaluée au point $(x, y) = (2, \sqrt 3)$ en $X$ :

z\left(2,{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}}}{\sqrt {\left(2 \right)^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4{\sqrt {3}}}}{\sqrt {7 }}\,,

Cependant, la fonction n'a pas pu être évaluée à, disons

(x,y)=(65,{\sqrt {10}})\,\Rightarrow \,x^{2}+y^{2}=(65)^{2}+({\sqrt {10}})^{2}>8

puisque ces valeurs de $x$ et $y$ ne satisfont pas à la règle du domaine.

Image

L' image d'une fonction $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ est l'ensemble de toutes les valeurs de $f$ lorsque le $n$ -uplet $(x 1, x 2, \dots, x n)$ s'exécute dans tout le domaine de $f$ . Pour une fonction à valeur réelle continue (voir ci-dessous pour une définition) qui a un domaine connexe, l'image est soit un intervalle, soit une valeur unique. Dans ce dernier cas, la fonction est une fonction constante .

La préimage d'un nombre réel donné $c$ est appelée un level set . C'est l'ensemble des solutions de l' équation $f (x 1, x 2, \dots, x n) = c$ .

Domaine

Le domaine d'une fonction de plusieurs variables réelles est un sous-ensemble de $R n$ qui est parfois, mais pas toujours, explicitement défini. En fait, si l'on restreint le domaine $X$ d'une fonction $f$ à un sous-ensemble $Y \subset X$ , on obtient formellement une fonction différente, la restriction de $f$ à $Y$ , qui est notée . En pratique, il n'est souvent (mais pas toujours) nuisible d'identifier $f$ et , et d'omettre le restricteur $|$ $Y$ . $f|_{Y}$ $f|_{Y}$

A l'inverse, il est parfois possible d'élargir naturellement le domaine d'une fonction donnée, par exemple par continuité ou par continuation analytique .

De plus, de nombreuses fonctions sont définies de telle sorte qu'il est difficile de spécifier explicitement leur domaine. Par exemple, étant donné une fonction $f$ , il peut être difficile de spécifier le domaine de la fonction Si $f$ est un polynôme multivarié , (qui a pour domaine), il est même difficile de tester si le domaine de $g$ est également . Cela équivaut à tester si un polynôme est toujours positif, et fait l'objet d'un domaine de recherche actif (voir Polynôme positif ). $g({\boldsymbol {x}})=1/f({\boldsymbol {x}}).$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Structure algébrique

Les opérations habituelles de l'arithmétique sur les réels peuvent être étendues aux fonctions à valeurs réelles de plusieurs variables réelles de la manière suivante :

Pour tout nombre réel $r$ , la fonction constante $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto r$ est défini partout.
Pour tout nombre réel $r$ et toute fonction $f$ , la fonction : $rf :(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto rf(x_{1},\ldots ,x_{n})$ a le même domaine que $f$ (ou est défini partout si $r = 0$ ).
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions de domaines respectifs $X$ et $Y$ telles que $X \cap Y$ contient un ouvert non vide de $R n$ , alors $f\,g:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ et $g\,f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto g(x_{1},\ldots ,x_{n})\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ sont des fonctions qui ont un domaine contenant $X \cap Y$ .

Il s'ensuit que les fonctions de $n$ variables définies partout et les fonctions de $n$ variables définies dans un voisinage d'un point donné forment toutes deux des algèbres commutatives sur les réels ( $R$ -algèbres). Il s'agit d'un exemple prototypique d'un espace fonctionnel .

On peut de même définir

1/f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto 1/f(x_{1},\ldots ,x_{n}),

qui n'est fonction que si l'ensemble des points $(x 1, \dots, x n)$ dans le domaine de $f$ tels que $f (x 1, \dots, x n) 0$ contient un ouvert de $R n$ . Cette contrainte implique que les deux ci - dessus ne sont pas algèbres champs .

Fonctions univariées associées à une fonction multivariable

On peut facilement obtenir une fonction dans une variable réelle en donnant une valeur constante à toutes les variables sauf une. Par exemple, si $(a 1, \dots, a n)$ est un point de l' intérieur du domaine de la fonction $f$ , on peut fixer les valeurs de $x 2, \dots, x n$ à $a 2, \dots, a n$ respectivement, pour obtenir une fonction univariée

x\mapsto f(x,a_{2},\ldots ,a_{n}),

dont le domaine contient un intervalle centré en $a 1$ . Cette fonction peut aussi être vue comme la restriction de la fonction $f$ à la droite définie par les équations $x i = a i$ pour $i = 2, \dots, n$ .

D' autres fonctions univariées peuvent être définies en restreignant $f$ à toute ligne passant par $(a 1, \dots, a n)$ . Ce sont les fonctions

x\mapsto f(a_{1}+c_{1}x,a_{2}+c_{2}x,\ldots ,a_{n}+c_{n}x),

où le $c i$ sont des nombres réels qui ne sont pas tous nuls.

Dans la prochaine section, nous montrerons que, si la fonction multivariable est continue, toutes ces fonctions univariées le sont aussi, mais l'inverse n'est pas nécessairement vrai.

Continuité et limite

Jusqu'à la seconde moitié du XIXe siècle, seules les fonctions continues étaient considérées par les mathématiciens. A cette époque, la notion de continuité a été élaborée pour les fonctions d'une ou plusieurs variables réelles assez longtemps avant la définition formelle d'un espace topologique et d'une carte continue entre espaces topologiques. Les fonctions continues de plusieurs variables réelles étant omniprésentes en mathématiques, il vaut la peine de définir cette notion sans référence à la notion générale d'applications continues entre espace topologique.

Pour définir la continuité, il est utile de considérer la fonction de distance de $R n$ , qui est une fonction définie partout de $2 n$ variables réelles :

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=d(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}) ={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}

Une fonction $f$ est continue en un point $a = (a 1, \dots, a n)$ qui est intérieur à son domaine, si, pour tout nombre réel positif $ε$ , il existe un nombre réel positif $φ$ tel que $| f (x) - f (a)| < Ε$ pour tout $x$ de telle sorte que $d (x a) < φ$ . En d' autres termes, $φ$ peut être choisi suffisamment petit pour avoir l'image par $f$ de la boule de rayon $φ$ centré sur $un$ contenu dans l'intervalle de longueur $2 ε$ centrée à $f (a)$ . Une fonction est continue si elle est continue en tout point de son domaine.

Si une fonction est continue en $f (a)$ , alors toutes les fonctions univariées qui sont obtenues en fixant toutes les variables $x i$ sauf une à la valeur $a i$ , sont continues en $f (a)$ . L'inverse est faux ; cela signifie que toutes ces fonctions univariées peuvent être continues pour une fonction qui n'est pas continue en $f (a)$ . Pour un exemple, considérons la fonction $f$ telle que $f (0, 0) = 0$ , et est autrement définie par

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.

Les fonctions $x \mapsto f (x, 0)$ et $y \mapsto f (0, y)$ sont à la fois constant et égal à zéro, et sont donc en continu. La fonction $f$ n'est pas continue en $(0, 0)$ , car, si $ε < 1/2$ et $y = x 20$ , on a $f (x, y) = 1/2$ , même si $| x |$ est très petit. Bien que non continue, cette fonction a en outre la propriété que toutes les fonctions univariées obtenues en la restreignant à une ligne passant par $(0, 0)$ sont également continues. En fait, nous avons

f(x,\lambda x)={\frac {\lambda x}{x^{2}+\lambda ^{2}}}

pour $X \neq 0$ .

La limite en un point d'une fonction à valeur réelle de plusieurs variables réelles est définie comme suit. Soit $a = (a 1, a 2, \dots, a n)$ un point de fermeture topologique du domaine $X$ de la fonction $f$ . La fonction $f$ a une limite $L$ lorsque $x$ tend vers $a$ , notée

L=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}),

si la condition suivante est satisfaite : Pour tout nombre réel positif $ε > 0$ , il existe un nombre réel positif $δ > 0$ tel que

|f({\boldsymbol {x}})-L|<\varepsilon

pour tout $x$ dans le domaine tel que

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {a}})<\delta .

Si la limite existe, elle est unique. Si $a$ est à l'intérieur du domaine, la limite existe si et seulement si la fonction est continue en $a$ . Dans ce cas, nous avons

f({\boldsymbol {a}})=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}).

Lorsque $a$ est dans le bord du domaine de $f$ , et si $f$ a une limite en $a$ , cette dernière formule permet « d'étendre par continuité » le domaine de $f$ à $a$ .

Symétrie

Une fonction symétrique est une fonction $f$ qui est inchangée lorsque deux variables $x i$ et $x j$ sont interverties :

f(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=f(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )

où $i$ et $j$ sont chacun de $1, 2, \dots, n$ . Par exemple:

f(x,y,z,t)=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

est symétrique dans $x, y, z$ puisque l'échange de n'importe quelle paire de $x, y, z$ laisse $f$ inchangé, mais n'est pas symétrique dans tous les $x, y, z, t$ , puisque l'échange de $t$ avec $x$ ou $y$ ou $z$ donne une fonction différente .

Composition fonctionnelle

Supposons que les fonctions

\xi _{1}=\xi _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\quad \xi _{2}=\xi _{2 }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots \xi _{m}=\xi _{m}(x_{1},x_{2},\ldots , x_{n}),

ou de façon plus compacte $ξ = ξ (x)$ , sont toutes définies sur un domaine $X$ . Comme le $n$ uplet $x = (x 1, x 2, ..., x n)$ varie en $X$ , un sous - ensemble de $R n$ , le $m$ uplet $ξ = (ξ 1, ξ 2, ..., ξ m)$ varie dans un autre région $Ξ$ un sous - ensemble de $R m$ . Pour reformuler ceci :

{\boldsymbol {\xi }}:X\to \Xi .

Alors, une fonction $ζ$ des fonctions $ξ (x)$ définie sur $Ξ$ ,

{\begin{aligned}&\zeta :\Xi \to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\ xi _{m}),\end{aligned}}

est une composition de fonction définie sur $X$ , en d'autres termes le mappage

{\begin{aligned}&\zeta :X\to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}

Notez que les nombres $m$ et $n$ n'ont pas besoin d'être égaux.

Par exemple, la fonction

f(x,y)=e^{xy}[\sin 3(xy)-\cos 2(x+y)]

défini partout sur $R 2$ peut être réécrit en introduisant

(\alpha ,\beta ,\gamma )=(\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=(xy,xy,x+y)

qui est aussi partout défini dans $R 3$ pour obtenir

f(x,y)=\zeta (\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=\zeta (\alpha ,\beta ,\gamma ) =e^{\alpha }[\sin(3\beta )-\cos(2\gamma )]\,.

La composition de fonctions peut être utilisée pour simplifier des fonctions, ce qui est utile pour effectuer des intégrales multiples et résoudre des équations aux dérivées partielles .

Calcul

Le calcul élémentaire est le calcul des fonctions à valeur réelle d'une variable réelle, et les idées principales de différenciation et d' intégration de telles fonctions peuvent être étendues aux fonctions de plus d'une variable réelle ; cette extension est le calcul multivariable .

Dérivés partiels

Des dérivées partielles peuvent être définies par rapport à chaque variable :

{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}} }f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Les dérivées partielles elles-mêmes sont des fonctions, dont chacune représente le taux de variation de $f$ parallèlement à l'un des axes $x 1, x 2, \dots, x n$ en tous les points du domaine (si les dérivées existent et sont continues - voir aussi ci-dessous ). Une dérivée première est positive si la fonction augmente le long de la direction de l'axe concerné, négative si elle diminue et nulle s'il n'y a ni augmentation ni diminution. L'évaluation d'une dérivée partielle en un point particulier du domaine donne le taux de variation de la fonction en ce point dans la direction parallèle à un axe particulier, un nombre réel.

Pour les fonctions à valeur réelle d'une variable réelle, $y = f (x)$ , sa dérivée ordinaire $dy / dx$ est géométriquement le gradient de la ligne tangente à la courbe $y = f (x)$ en tous les points du domaine. Les dérivées partielles étendent cette idée aux hyperplans tangents à une courbe.

Les dérivées partielles du second ordre peuvent être calculées pour chaque paire de variables :

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,, \quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Géométriquement, ils sont liés à la courbure locale de l'image de la fonction en tout point du domaine. A tout point où la fonction est bien définie, la fonction peut augmenter le long de certains axes, et/ou diminuer le long d'autres axes, et/ou ne pas augmenter ou diminuer du tout le long d'autres axes.

Cela conduit à une variété de points stationnaires possibles : des maxima globaux ou locaux, des minima globaux ou locaux et des points-selles — l'analogue multidimensionnel des points d'inflexion pour les fonctions réelles d'une variable réelle. La matrice hessienne est une matrice de toutes les dérivées partielles du second ordre, qui sont utilisées pour étudier les points stationnaires de la fonction, importants pour l'optimisation mathématique .

En général, les dérivées partielles d'ordre supérieur $p$ ont la forme :

{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^ {p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv {\frac {\partial ^{p_{1}}}{\partial x_{1 }^{p_{1}}}}{\frac {\partial ^{p_{2}}}{\partial x_{2}^{p_{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{ p_{n}}}{\partiel x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

où $p 1, p 2, \dots, p n$ sont chacun des nombres entiers compris entre $0$ et $p$ tels que $p 1 + p 2 + \dots + p n = p$ , en utilisant les définitions des dérivées partielles zéro comme opérateurs d'identité :

{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{1}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad \ldots ,\,{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{n}^{0} }}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,.

Le nombre de dérivées partielles possibles augmente avec $p$ , bien que certaines dérivées partielles mixtes (celles par rapport à plus d'une variable) soient superflues, en raison de la symétrie des dérivées partielles du second ordre . Cela réduit le nombre de dérivées partielles à calculer pour certains $p$ .

Différenciation multivariable

Une fonction $f (x)$ est dérivable au voisinage d'un point $a$ s'il existe un $n$ -uplet de nombres dépendant de $a$ en général, $A (a) = (A 1 (a), A 2 (a), \dots, A n (a))$ , de sorte que :

f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x} }-{\boldsymbol {a}})+\alpha ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

où $α \to 0$ comme $| x - a | \to 0$ . Cela signifie que si $f$ est dérivable en un point $a$ , alors $f$ est continue en $x = a$ , bien que l'inverse ne soit pas vrai - la continuité dans le domaine n'implique pas la différentiabilité dans le domaine. Si $f$ est dérivable en $a$ alors les dérivées partielles du premier ordre existent en $a$ et :

\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a }}}=A_{i}({\boldsymbol {a}})

pour $i = 1, 2, \dots, n$ , qui peut être trouvé à partir des définitions des dérivées partielles individuelles, donc les dérivées partielles de $f$ existent.

En supposant un analogue à $n$ dimensions d'un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires , ces dérivées partielles peuvent être utilisées pour former un opérateur différentiel linéaire vectoriel , appelé le gradient (également connu sous le nom " nabla " ou " del " ) dans ce système de coordonnées :

\nabla f({\boldsymbol {x}})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2} }},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)f({\boldsymbol {x}})

largement utilisé dans le calcul vectoriel , car il est utile pour construire d'autres opérateurs différentiels et formuler de manière compacte des théorèmes en calcul vectoriel.

En remplaçant alors le gradient $\nabla f$ (évalué en $x = a)$ par un léger réarrangement, on obtient :

f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\ boldsymbol {a}})+\alpha |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

où $\cdot$ désigne le produit scalaire . Cette équation représente la meilleure approximation linéaire de la fonction $f$ en tous les points $x$ dans un voisinage de $a$ . Pour les changements infinitésimaux de $f$ et $x$ lorsque $x \to a$ :

df=\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{1}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{1}+\gauche.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{2}}}\right|_{{\boldsymbol {x} }={\boldsymbol {a}}}dx_{2}+\dots +\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{n}}}\right| _{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{n}=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot d{\boldsymbol {x}}

qui est défini comme le différentiel total , ou simplement différentiel , de $f$ , en $a$ . Cette expression correspond au changement infinitésimal total de $f$ , en ajoutant tous les changements infinitésimaux de $f$ dans toutes les directions $x i$ . De plus, $df$ peut être interprété comme un covecteur avec des vecteurs de base comme les infinitésimaux $dx i$ dans chaque direction et des dérivées partielles de $f$ comme composants.

Géométriquement $\nabla f$ est perpendiculaire aux level sets de $f$ , donnée par $f (x) = c$ qui pour une constante $c$ décrit une hypersurface $(n - 1)$ -dimensionnelle. Le différentiel d'une constante est nul :

df=(\nabla f)\cdot d{\boldsymbol {x}}=0

dans laquelle $d x$ est un changement infinitésimal de $x$ dans l'hypersurface $f (x) = c$ , et puisque le produit scalaire de $\nabla f$ et $d x$ est nul, cela signifie que $\nabla f$ est perpendiculaire à $d x$ .

Dans les systèmes de coordonnées curvilignes arbitraires en $n$ dimensions, l'expression explicite du gradient ne serait pas si simple - il y aurait des facteurs d'échelle en termes de tenseur métrique pour ce système de coordonnées. Pour le cas ci-dessus utilisé tout au long de cet article, la métrique n'est que le delta de Kronecker et les facteurs d'échelle sont tous de 1.

Classes de différentiabilité

Si toutes les dérivées partielles du premier ordre sont évaluées en un point $a$ du domaine :

\left.{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a }}}\,,\quad \left.{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}= {\boldsymbol {a}}}\,,\ldots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\ boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

existent et sont continus pour tout $a$ dans le domaine, $f$ a la classe de différentiabilité $C 1$ . En général, si toutes les dérivées partielles d' ordre $p$ sont évaluées en un point $a$ :

\left.{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{ n}^{p_{n}}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

existent et sont continus, où $p 1, p 2, \dots, p n$ , et $p$ sont comme ci-dessus, pour tout $a$ dans le domaine, alors $f$ est dérivable d'ordre $p$ dans tout le domaine et a la classe de différentiabilité $C p$ .

Si $f$ est de classe de différentiabilité $C \infty$ , $f$ a des dérivées partielles continues de tout ordre et est dite lisse . Si $f$ est une fonction analytique et est égale à sa série de Taylor à propos de tout point dans le domaine, la notation $C ω$ désigne cette classe différentiabilité.

Intégration multiple

L'intégration définie peut être étendue à l' intégration multiple sur plusieurs variables réelles avec la notation ;

\int _{R_{n}}\cdots \int _{R_{2}}\int _{R_{1}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n })\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\equiv \int _{R}f({\boldsymbol {x}})\,d^{n}{\boldsymbol {x}}

où chaque région $R 1, R 2, \dots, R n$ est un sous-ensemble ou la totalité de la ligne réelle :

R_{1}\subseteq \mathbb {R} \,,\quad R_{2}\subseteq \mathbb {R} \,,\ldots ,R_{n}\subseteq \mathbb {R} ,

et leur produit cartésien donne la région à intégrer en un seul ensemble :

R=R_{1}\times R_{2}\times \dots \times R_{n}\,,\quad R\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,

un hypervolume à $n$ dimensions . Lorsqu'elle est évaluée, une intégrale définie est un nombre réel si l'intégrale converge dans la région $R$ d'intégration (le résultat d'une intégrale définie peut diverger à l'infini pour une région donnée, dans de tels cas l'intégrale reste mal définie). Les variables sont traitées comme des variables "factices" ou "liées" qui se substituent aux nombres dans le processus d'intégration.

L'intégrale d'une fonction à valeur réelle d'une variable réelle $y = f (x)$ par rapport à $x$ a une interprétation géométrique comme l'aire délimitée par la courbe $y = f (x)$ et l' axe des $x$ . Les intégrales multiples étendent la dimensionnalité de ce concept : en supposant un analogue à $n$ dimensions d'un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires , l'intégrale définie ci-dessus a l'interprétation géométrique comme l' hypervolume à $n$ dimensions limité par $f (x)$ et le $x 1, x 2, \dots, x n$ axes, qui peuvent être positifs, négatifs ou nuls, selon la fonction à intégrer (si l'intégrale est convergente).

Alors que l'hypervolume borné est une idée utile, l'idée la plus importante des intégrales définies est qu'elles représentent des quantités totales dans l'espace. Cela a une signification en mathématiques appliquées et en physique : si $f$ est un champ de densité scalaire et $x$ sont les coordonnées du vecteur de position , c'est-à-dire une quantité scalaire par unité d' hypervolume n- dimensionnel, alors l'intégration sur la région $R$ donne la quantité totale de quantité dans $R$ . Les notions plus formelles d'hypervolume font l'objet de la théorie de la mesure . Ci-dessus, nous avons utilisé la mesure de Lebesgue , voir Intégration de Lebesgue pour en savoir plus sur ce sujet.

Théorèmes

Avec les définitions de l'intégration multiple et des dérivées partielles, des théorèmes clés peuvent être formulés, y compris le théorème fondamental du calcul en plusieurs variables réelles (à savoir le théorème de Stokes ), l' intégration par parties en plusieurs variables réelles, la symétrie des dérivées partielles supérieures et le théorème de Taylor pour les fonctions multivariables . L'évaluation d'un mélange d'intégrales et de dérivées partielles peut se faire en utilisant la dérivation par théorème sous le signe intégral .

Calcul vectoriel

On peut collecter un certain nombre de fonctions chacune de plusieurs variables réelles, disons

y_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad y_{2}=f_{2}(x_{1} ,x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\ldots ,y_{m}=f_{m}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})

dans un $m-$ tuple, ou parfois comme vecteur colonne ou vecteur ligne , respectivement :

(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{ n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&f_{2}(x_{ 1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\cdots &f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}

tous traités sur le même pied qu'un champ de vecteurs à $m$ composants , et utilisez la forme qui vous convient. Toutes les notations ci - dessus ont une notation compacte commune $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)$ . Le calcul de tels champs de vecteurs est le calcul vectoriel . Pour plus d'informations sur le traitement des vecteurs ligne et des vecteurs colonne des fonctions multivariées, voir calcul matriciel .

Fonctions implicites

Une fonction implicite à valeur réelle de plusieurs variables réelles ne s'écrit pas sous la forme « $y = f (\dots)$ ». Au lieu de cela, le mappage est de l'espace $R n + 1$ à l' élément zéro dans $R$ (juste le zéro ordinaire 0) :

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{n+1}\to \{0\}\\&\phi (x_{1},x_{2},\ldots , x_{n},y)=0\end{aligné}}

est une équation à toutes les variables. Les fonctions implicites sont une manière plus générale de représenter les fonctions, car si :

y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

alors on peut toujours définir :

\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=yf(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0

mais l'inverse n'est pas toujours possible, c'est-à-dire que toutes les fonctions implicites n'ont pas une forme explicite.

Par exemple, en utilisant la notation d'intervalle , laissez

{\begin{aligned}&\phi :X\to \{0\}\\&\phi (x,y,z)=\left({\frac {x}{a}}\right) ^{2}+\gauche({\frac {y}{b}}\droite)^{2}+\gauche({\frac {z}{c}}\droite)^{2}-1=0 \\&X=[-a,a]\times [-b,b]\times [-c,c]=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ ,:\,-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b,-c\leq z\leq c\right\}.\end{aligned}}

En choisissant un système de coordonnées cartésiennes en 3 dimensions (3D), cette fonction décrit la surface d'un ellipsoïde 3D centré à l'origine $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ avec des demi-grands axes constants $a, b, c$ , le long des axes positifs x , y et z respectivement. Dans le cas $a = b = c = r$ , nous avons une sphère de rayon $r$ centrée à l'origine. D'autres exemples de section conique qui peuvent être décrits de manière similaire incluent l' hyperboloïde et le paraboloïde , plus généralement toute surface 2D dans l'espace euclidien 3D. L'exemple ci-dessus peut être résolu pour $x$ , $y$ ou $z$ ; cependant il est beaucoup plus ordonné de l'écrire sous une forme implicite.

Pour un exemple plus sophistiqué :

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{4}\to \{0\}\\&\phi (t,x,y,z)=Ctze^{tx-yz }+A\sin(3\omega t)\left(x^{2}z-By^{6}\right)=0\end{aligned}}

pour des constantes réelles non nulles $A, B, C, ω$ , cette fonction est bien définie pour tout $(t, x, y, z)$ , mais elle ne peut être résolue de façon explicite pour ces variables et écrit « $t =$ », " $x =$ ", etc.

Le théorème de la fonction implicite de plus de deux variables réelles traite de la continuité et de la différentiabilité de la fonction, comme suit. Soit $ϕ (x 1, x 2, \dots, x n)$ une fonction continue avec des dérivées partielles continues du premier ordre, et soit ϕ évalué en un point $(a, b) = (a 1, a 2, \dots, a n, b)$ être nul :

\phi ({\boldsymbol {a}},b)=0;

et soit la première dérivée partielle de $ϕ$ par rapport à $y$ évaluée en $(a, b)$ non nulle :

\left.{\frac {\partial \phi ({\boldsymbol {x}},y)}{\partial y}}\right|_{({\boldsymbol {x}},y)=( {\boldsymbol {a}},b)}\neq 0.

Alors, il existe un intervalle $[y 1, y 2]$ contenant $b$ , et une région $R$ contenant $(a, b)$ , tels que pour chaque $x$ dans $R$ il y a exactement une valeur de $y$ dans $[y 1, y 2]$ satisfaisant $ϕ (x, y) = 0$ , et $y$ est une fonction continue de $x de$ sorte que $ϕ (x, y (x)) = 0$ . Les différentiels totaux des fonctions sont :

dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\ points +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n};

d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial \phi }{\partial x_{2}}}dx_{ 2}+\dots +{\frac {\partial \phi }{\partial x_{n}}}dx_{n}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy.

En substituant $dy$ dans ce dernier différentiel et en égalant les coefficients des différentiels, on obtient les dérivées partielles du premier ordre de $y$ par rapport à $x i$ en fonction des dérivées de la fonction d'origine, chacune en tant que solution de l'équation linéaire

{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x_{ je}}}=0

pour $i = 1, 2, \dots, n$ .

Fonction à valeurs complexes de plusieurs variables réelles

Une fonction à valeurs complexes de plusieurs variables réelles peut être définie en relâchant, dans la définition des fonctions à valeurs réelles, la restriction du codomaine aux nombres réels, et en autorisant les valeurs complexes .

Si $f (x 1, \dots, x n)$ est une fonction à valeurs complexes, elle peut être décomposée en

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(x_{1},\ldots ,x_{n})+ih(x_{1},\ldots ,x_{n}) ,

où $g$ et $h$ sont des fonctions à valeur réelle. En d'autres termes, l'étude des fonctions à valeurs complexes se ramène facilement à l'étude des couples de fonctions à valeurs réelles.

Cette réduction fonctionne pour les propriétés générales. Cependant, pour une fonction explicitement donnée, telle que :

z(x,y,\alpha ,a,q)={\frac {q}{2\pi }}\left[\ln \left(x+iy-ae^{i\alpha }\right )-\ln \left(x+iy+ae^{-i\alpha }\right)\right]

le calcul de la partie réelle et de la partie imaginaire peut être difficile.

Applications

Les fonctions multivariables de variables réelles apparaissent inévitablement en ingénierie et en physique , car les quantités physiques observables sont des nombres réels (avec des unités et des dimensions associées ), et toute quantité physique dépendra généralement d'un certain nombre d'autres quantités.

Exemples de fonctions à valeur réelle de plusieurs variables réelles

Des exemples en mécanique des milieux continus comprennent la masse locale densité $ρ$ d'une distribution de masse, un champ scalaire qui dépend des coordonnées de position spatiale (ici cartésien pour illustrer), $r = (x, y, z)$ , et le temps $t$ :

\rho =\rho (\mathbf {r} ,t)=\rho (x,y,z,t)

De même pour la densité de charge électrique pour les objets chargés électriquement , et de nombreux autres champs potentiels scalaires .

Un autre exemple est le champ de vitesse , un champ vectoriel , qui a des composantes de vitesse $v = (v x, v y, v z)$ qui sont chacune des fonctions multivariables de coordonnées spatiales et de temps de manière similaire :

\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (x,y,z,t)=[v_{x}(x,y,z,t),v_{ y}(x,y,z,t),v_{z}(x,y,z,t)]

De même pour d'autres champs vectoriels physiques tels que les champs électriques et les champs magnétiques , et les champs potentiels vectoriels .

Un autre exemple important est l' équation d'état en thermodynamique , une équation reliant la pression $P$ , la température $T$ , et le volume $V$ d'un fluide, en général elle a une forme implicite :

{\style d'affichage f(P,V,T)=0}

L'exemple le plus simple est la loi des gaz parfaits :

{\style d'affichage f(P,V,T)=PV-nRT=0}

où $n$ est le nombre de moles , constant pour une quantité fixe de substance , et $R$ la constante de gaz . Des équations d'état beaucoup plus compliquées ont été dérivées empiriquement, mais elles ont toutes la forme implicite ci-dessus.

Les fonctions à valeur réelle de plusieurs variables réelles apparaissent de manière omniprésente en économie . Dans les fondements de la théorie du consommateur, l' utilité est exprimée en fonction des quantités de divers biens consommés, chaque quantité étant un argument de la fonction d'utilité. Le résultat de la maximisation de l'utilité est un ensemble de fonctions de demande , chacune exprimant la quantité demandée d'un bien particulier en fonction des prix des divers biens et du revenu ou de la richesse. Dans la théorie du producteur , une entreprise est généralement supposée maximiser son profit en fonction des quantités de divers biens produits et des quantités de divers facteurs de production employés. Le résultat de l'optimisation est un ensemble de fonctions de demande pour les différents facteurs de production et un ensemble de fonctions d'offre pour les différents produits ; chacune de ces fonctions a pour arguments les prix des biens et des facteurs de production.

Exemples de fonctions à valeurs complexes de plusieurs variables réelles

Certaines « grandeurs physiques » peuvent être effectivement valeurs complexes - comme impédance complexe , permittivité complexe , perméabilité complexe , et l' indice de réfraction complexe . Ce sont aussi des fonctions de variables réelles, telles que la fréquence ou le temps, ainsi que la température.

En mécanique des fluides bidimensionnelle , en particulier dans la théorie des écoulements potentiels utilisée pour décrire le mouvement des fluides en 2D, le potentiel complexe

F(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )+i\psi (x,y,\ldots )

est une fonction à valeurs complexes des deux coordonnées spatiales $x$ et $y$ , et d'autres variables réelles associées au système. La partie réelle est le potentiel de vitesse et la partie imaginaire est la fonction de flux .

Les harmoniques sphériques se produisent en physique et en ingénierie comme solution de l'équation de Laplace , ainsi que les fonctions propres de l' opérateur de moment cinétique de la composante z , qui sont des fonctions à valeurs complexes d' angles polaires sphériques à valeur réelle :

Y_{\ell }^{m}=Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )

En mécanique quantique , la fonction d'onde est nécessairement à valeurs complexes, mais est fonction de coordonnées spatiales réelles (ou composantes de quantité de mouvement ), ainsi que du temps $t$ :

\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)=\Psi (x,y,z,t)\,,\quad \Phi =\Phi (\mathbf {p} ,t)=\ Phi (p_{x},p_{y},p_{z},t)

où chacun est lié par une transformée de Fourier .

Voir également

Les références

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R. Wrede, MR Spiegel (2010). Calcul avancé . Série de contours de Schaum (3e éd.). Colline McGraw. ISBN 978-0-07-162366-7.
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MA Moskowitz, F. Paliogiannis (2011). Fonctions de plusieurs variables réelles . Scientifique du monde. ISBN 978-981-429-927-5.
W. Fleming (1977). Fonctions de plusieurs variables . Textes de premier cycle en mathématiques (2e éd.). Springer. ISBN 0-387-902-066.

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