Substitution d'Euler - Euler substitution

La substitution d'Euler est une méthode d'évaluation des intégrales de la forme

\int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx,

où est une fonction rationnelle de et . Dans de tels cas, l'intégrande peut être changé en une fonction rationnelle en utilisant les substitutions d'Euler. ${\style d'affichage R}$ ${\style d'affichage x}$ ${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$

Le premier remplacement d'Euler

La première substitution d'Euler est utilisée lorsque . nous substituons ${\style d'affichage a>0}$

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t

et résoudre l'expression résultante pour . Nous avons cela et que le terme est exprimable rationnellement dans .

{\style d'affichage x}

x={\frac {ct^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}

dx

{\style d'affichage t}

Dans cette substitution, le signe positif ou le signe négatif peut être choisi.

Deuxième remplacement d'Euler

Si , on prend ${\style d'affichage c>0}$

{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.

Nous résolvons de la même manière que ci-dessus et trouvons

{\style d'affichage x}

x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{at^{2}}}.

Encore une fois, le signe positif ou négatif peut être choisi.

Troisième remplacement d'Euler

Si le polynôme a des racines réelles et , nous pouvons choisir . Cela donne et comme dans les cas précédents, nous pouvons exprimer l'intégrande entier rationnellement dans . $hache^{2}+bx+c$ ${\style d'affichage \alpha }$ $\beta$ ${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t}$ $x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{at^{2}}},$ ${\style d'affichage t}$

Exemples travaillés

Exemples de la première substitution d'Euler

Une

Dans l'intégrale, nous pouvons utiliser la première substitution et définir , ainsi $\int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}$ ${\textstyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}$

x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\, \ dt

{\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{ 2t}}

Ainsi, on obtient :

\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}} }{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int {\frac {dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln \left|x+ {\sqrt {x^{2}+c}}\right|+C

Les cas donnent les formules $c=\pm 1$

{\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&=\operatorname {arsinh} (x)+C\\[6pt]\ int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&=\operatorname {arcosh} (x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}

Deux

Pour trouver la valeur de

\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,

on trouve en utilisant la première substitution d'Euler, . La quadrature des deux côtés de l'équation nous donne , à partir de laquelle les termes s'annuleront. Résoudre les rendements

{\style d'affichage t}

{\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}

{\style d'affichage x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}}

{\style d'affichage x^{2}}

{\style d'affichage x}

x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.

De là, nous trouvons que les différentiels et sont liés par $dx$ $dt$ $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$

D'où,

{\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^ {2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{\gauche({\frac {t^{2}+4}{4-2t}}\droite)\gauche({\ frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}}\right)}}dt&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&= 2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C\\[6pt] &=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C\end{aligned}}

Exemples pour la seconde substitution d'Euler

Dans l'intégrale

\int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},

nous pouvons utiliser la deuxième substitution et définir . Ainsi

{\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}

x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{ 2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt,

et

{\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}

Ainsi, on obtient :

{\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{ \sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+ 1}}}}dt\\[6pt]&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\[6pt]&={\frac {1} {\sqrt {2}}}\ln \left|2{\sqrt {2}}t-1\right|+C\\[4pt]&={\frac {\sqrt {2}}{2}} \ln \left|2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1\right |+C\fin{aligné}}

Exemples de la troisième substitution d'Euler

Évaluer

\int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,

nous pouvons utiliser la troisième substitution et définir . Ainsi

{\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}

x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\qquad \ dx={\frac {2}t}{(-t^{2}-1 )^{2}}}\,\ dt,

et

{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}

Prochain,

\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {\left({\frac {-2t ^{2}-1}{-t^{2}-1}}\right)^{2}{\frac {2}t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{ \frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{(-t^{2} -1)^{3}}}\ dt.

Comme nous pouvons le voir, il s'agit d'une fonction rationnelle qui peut être résolue en utilisant des fractions partielles.

Généralisations

Les substitutions d'Euler peuvent être généralisées en permettant l'utilisation de nombres imaginaires. Par exemple, dans l'intégrale , la substitution peut être utilisée. Les extensions aux nombres complexes nous permettent d'utiliser tout type de substitution d'Euler quels que soient les coefficients sur le quadratique. ${\textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$

Les substitutions d'Euler peuvent être généralisées à une plus grande classe de fonctions. Considérons les intégrales de la forme

\int R_{1}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\,\log \left(R_{2}\left(x,{\ sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\right)\,dx,

où et sont des fonctions rationnelles de et . Cette intégrale peut être transformée par la substitution en une autre intégrale

{\style d'affichage R_{1}}

{\style d'affichage R_{2}}

{\style d'affichage x}

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}

{\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}

\int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,

où et sont maintenant simplement des fonctions rationnelles de . En principe, la factorisation et la décomposition en fractions partielles peuvent être utilisées pour décomposer l'intégrale en termes simples, qui peuvent être intégrés analytiquement grâce à l'utilisation de la fonction dilogarithme .

{\tilde {R}}_{1}(t)

{\tilde {R}}_{2}(t)

{\style d'affichage t}

Voir également

Les références

Cet article incorpore du matériel de Substitutions d'Eulers pour l'intégration sur PlanetMath , qui est sous licence Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

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