Fonctions inverses et différenciation - Inverse functions and differentiation

Fait partie d'une série d'articles sur
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v t e

En mathématiques , l' inverse d'une fonction est une fonction qui, d'une certaine manière, "défait" l'effet de (voir fonction inverse pour une définition formelle et détaillée). L'inverse de est noté , où si et seulement si . ${\style d'affichage y=f(x)}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f^{-1}}$${\style d'affichage f^{-1}(y)=x}$${\style d'affichage f(x)=y}$

Leurs deux dérivées, à supposer qu'elles existent, sont réciproques , comme le suggère la notation de Leibniz ; C'est:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.}$

Cette relation est obtenue en différenciant l'équation en fonction de x et en appliquant la règle de la chaîne , ce qui donne que : ${\style d'affichage f^{-1}(y)=x}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}}$

considérant que la dérivée de x par rapport à x est 1.

En écrivant explicitement la dépendance de y sur x , et le point auquel la différenciation a lieu, la formule pour la dérivée de l'inverse devient (dans la notation de Lagrange) :

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}}$.

Cette formule est valable en général chaque fois qu'elle est continue et injective sur un intervalle I , avec étant dérivable en ( ) et où . La même formule est aussi équivalente à l'expression ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f^{-1}(a)}$${\displaystyle \in I}$${\displaystyle f'(f^{-1}(a))\neq 0}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1 }\droit)}},}$

où désigne l'opérateur dérivé unaire (sur l'espace des fonctions) et désigne la composition de la fonction . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \circ }$

Géométriquement, une fonction et une fonction inverse ont des graphiques qui sont des reflets , dans la ligne . Cette opération de réflexion transforme le gradient de n'importe quelle ligne en son inverse . ${\style d'affichage y=x}$

En supposant qu'il a un inverse au voisinage de et que sa dérivée en ce point est non nulle, son inverse est garanti d'être dérivable à et d'avoir une dérivée donnée par la formule ci-dessus. ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage x}$

Exemples

• ${\style d'affichage y=x^{2}}$(pour x positif ) a l'inverse .${\displaystyle x={\sqrt {y}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{ 2x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.}$

En , cependant, il y a un problème : le graphe de la fonction racine carrée devient vertical, correspondant à une tangente horizontale pour la fonction carrée. ${\style d'affichage x=0}$

• ${\displaystyle y=e^{x}}$(pour réel x ) a l'inverse (pour positif )${\displaystyle x=\ln {y}}$${\style d'affichage y}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }} {\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\ frac {e^{x}}{e^{x}}}=1}$

Propriétés supplémentaires

• L'intégration de cette relation donne

${\displaystyle {f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+C.}$

Ceci n'est utile que si l'intégrale existe. En particulier, nous devons être non nuls sur toute la plage d'intégration.${\style d'affichage f'(x)}$

Il s'ensuit qu'une fonction qui a une dérivée continue a un inverse au voisinage de chaque point où la dérivée est non nulle. Cela n'a pas besoin d'être vrai si la dérivée n'est pas continue.

• Une autre propriété très intéressante et utile est la suivante :

${\displaystyle \int f^{-1}(x)\,{dx}=xf^{-1}(x)-F(f^{-1}(x))+C}$

Où désigne la primitive de .${\style d'affichage F}$${\style d'affichage f}$

Dérivés supérieurs

La règle de chaîne donnée ci-dessus est obtenue en différenciant l'identité par rapport à x . On peut continuer le même processus pour les dérivées supérieures. En différenciant deux fois l'identité par rapport à x , on obtient ${\style d'affichage f^{-1}(f(x))=x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\ gauche({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}$

qui est encore simplifiée par la règle de la chaîne comme

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x} {dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.}$

En remplaçant la dérivée première, en utilisant l'identité obtenue précédemment, on obtient

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\ gauche({\frac {dy}{dx}}\droite)^{3}.}$

De même pour la dérivée troisième :

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\ gauche({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac { d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}$

ou en utilisant la formule de la dérivée seconde,

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\ gauche({\frac {dy}{dx}}\droite)^{4}+3\gauche({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\droite)^{2} \,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}$

Ces formules sont généralisées par la formule de Faà di Bruno .

Ces formules peuvent également être écrites en utilisant la notation de Lagrange. Si f et g sont inverses, alors

${\displaystyle g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}}$

Exemple

• ${\displaystyle y=e^{x}}$a l'inverse . En utilisant la formule de la dérivée seconde de la fonction inverse,${\style d'affichage x=\ln y}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox { }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{ dx}}\right)^{3}=y^{3};}$

pour que

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{ \mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^ {2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}}$,

ce qui concorde avec le calcul direct.

Voir également

• Calcul
• Fonctions inverses
• Règle de la chaîne
• Théorème de la fonction inverse
• Théorème de la fonction implicite
• Intégration de fonctions inverses

Les références