Test de comparaison des limites - Limit comparison test

Fait partie d'une série d'articles sur
Calcul
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v t e

En mathématiques , le test de comparaison limite (LCT) (contrairement au test de comparaison directe connexe ) est une méthode de test de la convergence d'une série infinie .

Déclaration

Supposons que nous ayons deux séries et avec pour tout . ${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$${\displaystyle a_{n}\geq 0,b_{n}>0}$${\style d'affichage n}$

Alors si avec , alors soit les deux séries convergent, soit les deux séries divergent. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$${\displaystyle 0<c<\infty }$

Preuve

Parce que nous savons que pour tout il existe un entier positif tel que pour tout nous avons que , ou de façon équivalente ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\style d'affichage n_{0}}$${\style d'affichage n\geq n_{0}}$${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }$

${\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon }$

${\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$

Comme on peut choisir d'être suffisamment petit pour que ce soit positif. Ainsi et par le test de comparaison directe , si converge alors il en est de même . ${\style d'affichage c>0}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle c-\varepsilon }$${\displaystyle b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}$${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$

De même , si diverge, encore une fois par le test de comparaison directe, il en va de même . ${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$

Autrement dit, les deux séries convergent ou les deux séries divergent.

Exemple

Nous voulons déterminer si la série converge. Pour cela, nous comparons avec la série convergente . ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Comme nous l'avons vu, la série originale converge également. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0}$

Version unilatérale

On peut énoncer un test de comparaison unilatéral en utilisant la limite supérieure . Laissez pour tous . Alors si avec et converge, converge nécessairement . ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$${\displaystyle 0\leq c<\infty }$${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$

Exemple

Soit et pour tous les nombres naturels . Maintenant n'existe pas, nous ne pouvons donc pas appliquer le test de comparaison standard. Cependant, et puisque converge, le test de comparaison unilatérale implique que converge. ${\displaystyle a_{n}={\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }(1-(-1)^{n })}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n })=2\dans [0,\infty )}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}$

Inverse du test de comparaison unilatéral

Laissez pour tous . Si diverge et converge, alors nécessairement , c'est-à-dire . Le contenu essentiel ici est que, dans un certain sens, les nombres sont plus grands que les nombres . ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty }$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0}$${\style d'affichage a_{n}}$${\style d'affichage b_{n}}$

Exemple

Soit analytique dans le disque unité et ayons image d'aire finie. Par la formule de Parseval, l'aire de l'image de est . De plus, diverge. Par conséquent, par l'inverse du test de comparaison, nous avons , c'est-à-dire . ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n|a_{n}|^{2}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/n}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n|a_ {n}|)^{2}=0}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }n|a_{n}|=0}$

Voir également

• Tests de convergence
• Test de comparaison directe

Les références

Lectures complémentaires

• Rinaldo B. Schinazi : Du calcul à l'analyse . Springer, 2011, ISBN  9780817682897 , p. 50
• Michele Longo et Vincenzo Valori : Le test de comparaison : pas seulement pour les séries non négatives . Magazine de Mathématiques, Vol. 79, n° 3 (juin 2006), p. 205-210 ( JSTOR )
• J. Marshall Ash : Le test de comparaison limite a besoin de positivité . Magazine de Mathématiques, Vol. 85, n° 5 (décembre 2012), p. 374–375 ( JSTOR )

Liens externes

• Notes en ligne de Pauls sur le test de comparaison