La règle de l'Hôpital - L'Hôpital's rule
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En mathématiques , plus précisément le calcul , la règle de l'Hôpital ou la règle de l'Hôpital ( français: [Lopital] , Anglais: / ˌ l oʊ p Ï t ɑː l / , Loh-Pee TAHL ) est un théorème qui fournit une technique évaluer les limites des formes indéterminées . L'application (ou l'application répétée) de la règle convertit souvent une forme indéterminée en une expression qui peut être facilement évaluée par substitution. La règle porte le nom du mathématicien français du XVIIe siècle Guillaume de l'Hôpital . Bien que la règle soit souvent attribuée à L'Hôpital, le théorème lui a été présenté pour la première fois en 1694 par le mathématicien suisse Johann Bernoulli .
L'les états de règle de l' Hôpital que pour les fonctions f et g , qui sont différentiables sur une ouverture intervalle I sauf peut - être en un point c contenu dans I , si , et pour tout x dans I avec x ≠ c et existe,
La différenciation du numérateur et du dénominateur simplifie souvent le quotient ou le convertit en une limite qui peut être évaluée directement.
Histoire
Guillaume de l'Hôpital (également écrit l'Hospital) a publié cette règle dans son livre de 1696 Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (traduction littérale : Analysis of the Infinitely Small for the Understanding of Curved Lines ), le premier manuel sur le calcul différentiel . Cependant, on pense que la règle a été découverte par le mathématicien suisse Johann Bernoulli .
Forme générale
La forme générale de la règle de L'Hôpital couvre de nombreux cas. Laissez c et L sont étendus des nombres réels (c. -à- nombres réels, l' infini positif ou infini négatif). Soit I un intervalle ouvert contenant c (pour une limite bilatérale) ou un intervalle ouvert d'extrémité c (pour une limite unilatérale , ou une limite à l'infini si c est infini). Les fonctions réelles f et g sont supposées dérivables sur I sauf éventuellement en c , et de plus sur I sauf éventuellement en c . On suppose également que Ainsi, la règle s'applique aux situations dans lesquelles le rapport des dérivées a une limite finie ou infinie, mais pas aux situations dans lesquelles ce rapport fluctue en permanence lorsque x se rapproche de plus en plus de c .
Si soit
ou
alors
Bien que nous ayons écrit x → c partout, les limites peuvent aussi être des limites unilatérales ( x → c + ou x → c − ), lorsque c est une extrémité finie de I .
Dans le second cas, l'hypothèse que f diverge à l'infini n'est pas utilisée dans la preuve (voir note à la fin de la partie démonstration) ; ainsi, alors que les conditions de la règle sont normalement énoncées comme ci-dessus, la deuxième condition suffisante pour que la procédure de la règle soit valide peut être énoncée plus brièvement comme suit
Hypothèse qui apparaît le plus souvent dans la littérature, mais certains auteurs contournent cette hypothèse en ajoutant d'autres hypothèses par ailleurs. Une méthode consiste à définir la limite d'une fonction avec l'exigence supplémentaire que la fonction limite soit définie partout sur l'intervalle pertinent I sauf éventuellement en c . Une autre méthode consiste à exiger que f et g soient tous les deux dérivables partout sur un intervalle contenant c .
Exigence que la limite existe
L'exigence que la limite
existe est essentiel. Sans cette condition, ou peut présenter des oscillations non amorties à l' approche , auquel cas la règle de L'Hôpital ne s'applique pas. Par exemple, si , et , alors
cette expression ne s'approche pas d'une limite comme va à , puisque la fonction cosinus oscille entre 1 et -1 . Mais en travaillant avec les fonctions d'origine, on peut montrer qu'il existe :
Dans un cas comme celui-ci, tout ce que l'on peut conclure, c'est que
de sorte que si la limite de f / g existe, alors elle doit se situer entre les limites inférieure et supérieure de f / g ′. (Dans l'exemple ci-dessus, c'est vrai, puisque 1 est bien compris entre 0 et 2.)
Exemples
- Voici un exemple de base impliquant la fonction exponentielle, qui implique la forme indéterminée
0/0en x = 0 :
- Il s'agit d'un exemple plus élaboré impliquant 0/0. L'application de la règle de L'Hôpital une seule fois aboutit toujours à une forme indéterminée. Dans ce cas, la limite peut être évaluée en appliquant la règle trois fois :
- Voici un exemple impliquant ??/??:
- Voici un exemple impliquant la forme indéterminée 0 · ∞ (voir ci-dessous), qui est réécrite sous la forme??/??:
- Voici un exemple impliquant la formule de remboursement hypothécaire et0/0. Soit P le principal (montant du prêt), r le taux d'intérêt par période et n le nombre de périodes. Lorsque r est égal à zéro, le montant du remboursement par période est (puisque seul le principal est remboursé) ; ceci est cohérent avec la formule pour les taux d'intérêt non nuls :
- On peut aussi utiliser la règle de L'Hôpital pour prouver le théorème suivant. Si f est deux fois différentiable dans un voisinage de x et que sa dérivée seconde est continue sur ce voisinage, alors
-
Parfois, la règle de L'Hôpital est invoquée de manière délicate : supposons que f ( x ) + f ( x ) converge lorsque x → ∞ et que converge vers l'infini positif ou négatif. Puis:
Le résultat reste vrai sans l'hypothèse ajoutée qui converge vers l'infini positif ou négatif, mais la justification est alors incomplète.
Complications
Parfois, la règle de L'Hôpital ne conduit pas à une réponse en un nombre fini d'étapes à moins que des étapes supplémentaires soient appliquées. Les exemples incluent les suivants :
- Deux applications peuvent conduire à un retour à l'expression d'origine qui devait être évaluée :
- Un nombre arbitrairement élevé de candidatures peut ne jamais aboutir à une réponse, même sans répéter :
Un piège courant consiste à utiliser la règle de L'Hôpital avec un raisonnement circulaire pour calculer une dérivée via un quotient de différence . Par exemple, considérons la tâche de prouver la formule dérivée pour les puissances de x :
En appliquant la règle de L'Hôpital et en trouvant les dérivées par rapport à h du numérateur et du dénominateur, on obtient nx n −1 comme prévu. Cependant, différencier le numérateur a nécessité l'utilisation du fait même qui est prouvé. Il s'agit d'un exemple de supplication , car on ne peut pas supposer que le fait est prouvé au cours de la preuve.
Contre-exemples lorsque la dérivée du dénominateur est nulle
La nécessité de la condition que près peut être vue par le contre-exemple suivant dû à Otto Stolz . Laissez et alors il n'y a pas de limite pour que Cependant,
qui tend vers 0 comme . D'autres exemples de ce type ont été trouvés par Ralph P. Boas Jr.
Autres formes indéterminées
D'autres formes indéterminées, telles que 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 , 0 · ∞ , et ∞ − ∞ , peuvent parfois être évaluées en utilisant la règle de L'Hôpital. Par exemple, pour évaluer une limite impliquant ∞ − ∞ , convertissez la différence de deux fonctions en un quotient :
où la règle de L'Hôpital est appliquée lors du passage de (1) à (2) et à nouveau lors du passage de (3) à (4).
La règle de L'Hôpital peut être utilisée sur des formes indéterminées impliquant des exposants en utilisant des logarithmes pour "déplacer l'exposant vers le bas". Voici un exemple impliquant la forme indéterminée 0 0 :
Il est valable de déplacer la limite à l'intérieur de la fonction exponentielle car la fonction exponentielle est continue . Maintenant, l'exposant a été "déplacé vers le bas". La limite est de la forme indéterminée 0 · ∞ , mais comme le montre un exemple ci-dessus, la règle de l'Hôpital peut être utilisée pour déterminer que
Ainsi
Théorème de Stolz–Cesaro
Le théorème de Stolz-Cesàro est un résultat similaire impliquant des limites de séquences, mais il utilise des opérateurs aux différences finies plutôt que des dérivés .
Interprétation géométrique
Considérons la courbe dans le plan dont la coordonnée x est donnée par g ( t ) et dont la coordonnée y est donnée par f ( t ) , avec les deux fonctions continues, c'est-à-dire le lieu des points de la forme [ g ( t ), f ( t )] . Supposons que f ( c ) = g ( c ) = 0 . La limite du rapportf ( t )/g ( t )comme t → c est la pente de la tangente à la courbe au point [ g ( c ), f ( c )] = [0,0] . La tangente à la courbe au point [ g ( t ), f ( t )] est donnée par [ g ′( t ), f ( t )] . La règle de L'Hôpital stipule alors que la pente de la courbe lorsque t = c est la limite de la pente de la tangente à la courbe lorsque la courbe se rapproche de l'origine, à condition que cela soit défini.
Preuve de la règle de L'Hôpital
Cas particulier
La preuve de la règle de L'Hôpital est simple dans le cas où f et g sont continûment dérivables au point c et où une limite finie est trouvée après le premier tour de dérivation. Ce n'est pas une preuve de la règle générale de L'Hôpital car elle est plus stricte dans sa définition, exigeant à la fois la différentiabilité et que c soit un nombre réel. Étant donné que de nombreuses fonctions communes ont des dérivées continues (par exemple, polynômes , sinus et cosinus , fonctions exponentielles ), il s'agit d'un cas particulier digne d'attention.
Supposons que f et g soient continûment dérivables en un nombre réel c , that et that . Puis
Cela découle de la définition du quotient de différence de la dérivée. La dernière égalité découle de la continuité des dérivées en c . La limite dans la conclusion n'est pas indéterminée car .
La preuve d'une version plus générale de la règle de L'Hôpital est donnée ci-dessous.
Preuve générale
La preuve suivante est due à Taylor (1952) , où une preuve unifiée pour le0/0 et ±∞/±∞des formes indéterminées est donnée. Taylor note que différentes preuves peuvent être trouvées dans Lettenmeyer (1936) et Wazewski (1949) .
Soient f et g des fonctions satisfaisant les hypothèses de la section Forme générale . Soit l'intervalle ouvert dans l'hypothèse de point final c . Considérant que sur cet intervalle et g est continu, peut être choisi plus petit pour que g soit non nul sur .
Pour chaque x de l'intervalle, définissez et en tant que plages sur toutes les valeurs comprises entre x et c . (Les symboles inf et sup désignent l' infimum et le supremum .)
A partir de la différentiabilité de f et g sur , le théorème de la valeur moyenne de Cauchy assure que pour deux points distincts x et y dans il existe un entre x et y tel que . Par conséquent, pour tous les choix de x et y distincts dans l'intervalle. La valeur g ( x )- g ( y ) est toujours non nulle pour x et y distincts dans l'intervalle, car si ce n'était pas le cas, le théorème de la valeur moyenne impliquerait l'existence d'un p entre x et y tel que g' ( p )=0.
La définition de m ( x ) et M ( x ) se traduira par un nombre réel étendu, et il leur est donc possible de prendre les valeurs ±∞. Dans les deux cas suivants, m ( x ) et M ( x ) établiront des bornes sur le rapportF/g.
Cas 1:
Pour tout x dans l'intervalle , et le point y entre x et c ,
et donc lorsque y se rapproche de c , et devient zéro, et ainsi
Cas 2 :
Pour chaque x dans l'intervalle , définissez . Pour tout point y compris entre x et c ,
Lorsque y se rapproche de c , les deux et deviennent nuls, et donc
La limite supérieure et la limite inférieure sont nécessaires puisque l'existence de la limite deF/g n'a pas encore été établie.
C'est aussi le cas que
et
- et
Dans le cas 1, le théorème de compression établit qu'il existe et est égal à L . Dans le cas 2, et le théorème de compression affirme à nouveau que , et donc la limite existe et est égale à L . C'est le résultat qui devait être prouvé.
Dans le cas 2, l'hypothèse selon laquelle f ( x ) diverge à l'infini n'a pas été utilisée dans la preuve. Cela signifie que si | g ( x )| diverge vers l'infini lorsque x tend vers c et que f et g satisfont aux hypothèses de la règle de L'Hôpital, alors aucune hypothèse supplémentaire n'est nécessaire sur la limite de f ( x ) : il se pourrait même que la limite de f ( x ) n'existe pas. Dans ce cas, le théorème de L'Hôpital est en fait une conséquence de Cesàro-Stolz.
Dans le cas où | g ( x )| diverge vers l'infini lorsque x se rapproche de c et f ( x ) converge vers une limite finie en c , alors la règle de L'Hôpital serait applicable, mais pas absolument nécessaire, puisque le calcul des limites de base montrera que la limite de f ( x )/ g ( x ) lorsque x approche c doit être égal à zéro.
Corollaire
Une conséquence simple mais très utile de la règle de L'Hôpital est un critère bien connu de différentiabilité. Il énonce ce qui suit : supposons que f soit continue en a , et qu'il existe pour tout x dans un intervalle ouvert contenant a , sauf peut-être pour . Supposons d'ailleurs que cela existe. Alors existe aussi et
En particulier, f' est également continue en a .
Preuve
Considérez les fonctions et . La continuité de f en a nous dit que . De plus, puisqu'une fonction polynomiale est toujours continue partout. L'application de la règle de L'Hôpital montre que .
Voir également
Remarques
Les références
Sources
- Chatterjee, Dipak (2005), Analyse réelle , PHI Learning Pvt. Ltd, ISBN 81-203-2678-4
- Krantz, Steven G. (2004), Un manuel de variables réelles. Avec applications aux équations différentielles et à l'analyse de Fourier , Boston, MA : Birkhäuser Boston Inc., pp. xiv+201, doi : 10.1007/978-0-8176-8128-9 , ISBN 0-8176-4329-X, MR 2015447
- Lettenmeyer, F. (1936), "Über die sogenannte Hospitalsche Regel", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1936 (174) : 246–247, doi : 10.1515/crll.1936.174.246 , S2CID 199546754
- Taylor, AE (1952), "La règle de L'Hospital", Amer. Math. Mensuel , 59 (1) : 20-24, doi : 10.2307/2307183 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2307183 , MR 0044602
- Wazewski, T. (1949), "Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations", Prace Mat.-Fiz. (en français), 47 : 117–128, MR 0034430