Calcul fractionnaire - Fractional calculus

Le calcul fractionnaire est une branche de l'analyse mathématique qui étudie les différentes possibilités de définir des puissances de nombres réels ou des puissances de nombres complexes de l' opérateur de différenciation $D$

Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,

et de l' opérateur d' intégration $J$

Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds\,,

et développer un calcul pour de tels opérateurs généralisant le classique.

Dans ce contexte, le terme puissance fait référence à l'application itérative d'un opérateur linéaire D à une fonction f , c'est-à-dire à la composition répétée de D avec elle-même, comme dans . $D^{n}(f)=(\underbrace {D\circ D\circ D\circ \cdots \circ D} _{n})(f)=\underbrace {D(D(D(\ cdots D} _{n}(f)\cdots )))$

Par exemple, on peut demander une interprétation significative de

{\sqrt {D}}=D^{\frac {1}{2}}

comme un analogue de la racine carrée fonctionnelle de l'opérateur de différenciation, c'est-à-dire une expression pour un opérateur linéaire qui, appliqué deux fois à n'importe quelle fonction, aura le même effet que la différenciation . Plus généralement, on peut se poser la question de la définition d'un opérateur linéaire

D^{a}

pour chaque nombre réel $de$ telle sorte que, quand $un$ prend un nombre entier valeur $n \in Z$ , elle coïncide avec l'habituel $n$ différenciation -fois $D$ si $n > 0$ , et avec le $(- n)$ pouvoir -ième de $J$ lorsque $n < 0$ .

L'une des motivations derrière l'introduction et l'étude de ces sortes d'extensions de l'opérateur de différenciation $D$ est que les ensembles d'opérateurs puissances ${D a | a \in R} ainsi$ définis sont des semi-groupes continus de paramètre $a$ , dont le semi-groupe discret original de ${D n | n \in Z }$ pour entier $n$ est un sous-groupe dénombrable : puisque les semi-groupes continus ont une théorie mathématique bien développée, ils peuvent être appliqués à d'autres branches des mathématiques.

Les équations différentielles fractionnaires , également connues sous le nom d'équations différentielles extraordinaires, sont une généralisation des équations différentielles grâce à l'application du calcul fractionnaire.

Notes historiques

En mathématiques appliquées et en analyse mathématique, une dérivée fractionnaire est une dérivée de tout ordre arbitraire, réel ou complexe. Sa première apparition est dans une lettre écrite à Guillaume de l'Hôpital par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1695. Vers la même époque, Leibniz écrit à l'un des frères Bernoulli décrivant la similitude entre le théorème du binôme et la règle de Leibniz pour la dérivée fractionnaire de un produit de deux fonctions. Le calcul fractionnaire a été introduit dans l'un des premiers articles de Niels Henrik Abel où tous les éléments peuvent être trouvés : l'idée d'intégration et de différenciation d'ordre fractionnaire, la relation mutuellement inverse entre elles, la compréhension que la différenciation et l'intégration d'ordre fractionnaire peuvent être considérée comme la même opération généralisée, et même la notation unifiée pour la différenciation et l'intégration de l'ordre réel arbitraire. Indépendamment, les bases du sujet ont été posées par Liouville dans un article de 1832. L' autodidacte Oliver Heaviside a introduit l'utilisation pratique des opérateurs différentiels fractionnaires dans l'analyse des lignes de transmission électrique vers 1890. La théorie et les applications du calcul fractionnaire se sont considérablement développées au cours du 19e et 20e siècles, et de nombreux contributeurs ont donné des définitions pour les dérivées fractionnaires et les intégrales.

Nature de la dérivée fractionnaire

L' $un$ ième dérivée d'une fonction $f (x)$ en un point $x$ est une propriété locale uniquement lorsque $a$ est un nombre entier; ce n'est pas le cas pour les dérivés de puissance non entiers. En d'autres termes, une dérivée fractionnaire non entière d'une fonction $f (x)$ à x = a dépend de toutes les valeurs de $f$ , même celles qui sont éloignées de $a$ . Par conséquent, on s'attend à ce que l'opération de dérivée fractionnaire implique une sorte de conditions aux limites , impliquant des informations sur la fonction plus loin.

La dérivée fractionnaire d'une fonction d'ordre $a$ est souvent maintenant définie au moyen des transformées intégrales de Fourier ou de Mellin .

Heuristique

Une question assez naturelle à se poser est de savoir s'il existe un opérateur linéaire $H$ , ou semi-dérivé, tel que

H^{2}f(x)=Df(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)=f'(x)\,.

Il s'avère qu'il existe un tel opérateur, et en effet pour tout $a > 0$ , il existe un opérateur $P$ tel que

\left(P^{a}f\right)(x)=f'(x),

ou pour le dire autrement, la définition de $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} d n oui/dx n$ peut être étendu à toutes les valeurs réelles de $n$ .

Soit $f (x)$ une fonction définie pour $x > 0$ . Former l'intégrale définie de 0 à $x$ . Appelez ceci

(Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,.

La répétition de ce processus donne

\left(J^{2}f\right)(x)=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\,dt=\int _{0}^{x}\ gauche(\int _{0}^{t}f(s)\,ds\droit)dt\,,

et cela peut être étendu arbitrairement.

La formule de Cauchy pour l'intégration répétée , à savoir

\left(J^{n}f\right)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(xt\right )^{n-1}f(t)\,dt\,,

conduit de manière directe à une généralisation pour le réel

n

.

L'utilisation de la fonction gamma pour supprimer la nature discrète de la fonction factorielle nous donne un candidat naturel pour les applications fractionnaires de l'opérateur intégral.

\left(J^{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(xt\ à droite)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.

Il s'agit en fait d'un opérateur bien défini.

Il est simple de montrer que l' opérateur $J$ satisfait

\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)=\left(J^{\beta }\right)\left(J^{ \alpha }f\right)(x)=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\ int _{0}^{x}\left(xt\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.

Preuve —

{\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&={\frac {1}{\Gamma (\ alpha )}}\int _{0}^{x}(xt)^{\alpha -1}\left(J^{\beta }f\right)(t)\,dt\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{t}\left(xt\right)^{\alpha - 1}\left(ts\right)^{\beta -1}f(s)\,ds\,dt\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )} }\int _{0}^{x}f(s)\left(\int _{s}^{x}\left(xt\right)^{\alpha -1}\left(ts\right)^ {\beta -1}\,dt\right)\,ds\end{aligned}}

où, à la dernière étape, nous avons échangé l'ordre d'intégration et extrait le facteur

f (s)

de l' intégration

t

. Changer les variables en

r

défini par

t = s + (x - s) r

,

\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}\left(xs\right)^{\alpha +\beta -1}f(s)\left(\int _{0}^{1}\left( 1-r\right)^{\alpha -1}r^{\beta -1}\,dr\right)\,ds

L'intégrale interne est la fonction bêta qui vérifie la propriété suivante :

\int _{0}^{1}\left(1-r\right)^{\alpha -1}r^{\beta -1}\,dr=B(\alpha ,\beta )= {\frac {\Gamma (\alpha )\,\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}

Remplacement dans l'équation

\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}} \int _{0}^{x}\left(xs\right)^{\alpha +\beta -1}f(s)\,ds=\left(J^{\alpha +\beta }f\right )(X)

Interchangeant $α$ et $ß$ montre que l'ordre dans lequel la $J$ opérateur est appliqué est sans importance et achève la démonstration.

Cette relation est appelée la propriété de semi-groupe des opérateurs différentiels fractionnaires . Malheureusement, le processus comparable pour l'opérateur dérivé $D$ est significativement plus complexe, mais on peut montrer que $D$ n'est ni commutatif ni additif en général.

Dérivée fractionnaire d'une fonction puissance de base

La demi-dérivée (courbe violette) de la fonction

f (x) = x

(courbe bleue) avec la dérivée première (courbe rouge).

L'animation montre l'opérateur dérivé oscillant entre la primitive (

α = -1

:

y = 1 / 2 x 2

) et la dérivée (

α = +1

:

y = 1

) de la fonction puissance simple

y = x en

continu.

Supposons que $f (x)$ est un monôme de la forme

{\style d'affichage f(x)=x^{k}\,.}

La dérivée première est comme d'habitude

f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\,.

La répétition de ceci donne le résultat plus général que

{\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(ka)!}}x^{ka}\,,

qui, après avoir remplacé les factorielles par la fonction gamma , conduit à

{\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)} }x^{ka},\quad \ k>0.

Pour $k = 1$ et $a = 1 / 2$ , on obtient la demi-dérivée de la fonction $x$ comme

{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\frac {\Gamma (1+1)}{ \Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}+1\right)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\frac {\Gamma (2) }{\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}}x^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}x^{\frac {1}{2}}.

Pour démontrer qu'il s'agit en fait de la "demi dérivée" (où $H 2 f (x) = Df (x)$ ), nous répétons le processus pour obtenir :

{\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {2x^{\frac {1}{2} }}{\sqrt {\pi }}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\ Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2 }}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}{\Gamma (1)}} x^{0}={\frac {2}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x^{0}}{\sqrt {\pi }}}=1\,,

(car et $(1) = 1$ ) qui est bien le résultat attendu de ${\textstyle \Gamma \!\left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$

\left({\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\frac {d^{\frac {1} {2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)\!x={\frac {d}{dx}}x=1\,.

Pour une puissance entière négative $k$ , la fonction gamma est indéfinie et nous devons utiliser la relation suivante :

{\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{-k}=\left(-1\right)^{a}{\dfrac {\Gamma (k+a )}{\Gamma (k)}}x^{-(k+a)}\quad {\text{ for }}k\geq 0.

Cette extension de l'opérateur différentiel ci-dessus n'a pas besoin d'être limitée aux seules puissances réelles ; elle s'applique également aux puissances complexes. Par exemple, la dérivée $(1 + i)$ -ième de la dérivée $(1 - i)$ -ième donne la dérivée seconde. La définition de valeurs négatives pour $a$ donne également des intégrales.

Pour une fonction générale $f (x)$ et $0 < α < 1$ , la dérivée fractionnaire complète est

D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x }{\frac {f(t)}{\gauche(xt\right)^{\alpha }}}\,dt.

Pour $α$ arbitraire , puisque la fonction gamma est indéfinie pour les arguments dont la partie réelle est un entier négatif et dont la partie imaginaire est nulle, il est nécessaire d'appliquer la dérivée fractionnaire après que la dérivée entière a été effectuée. Par exemple,

D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1} {2}}{\frac {d}{dx}}f(x).

transformation de Laplace

On peut aussi venir à la question via la transformée de Laplace . Sachant que

{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\ ,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s )

et

{\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\ {Jf\right\}{\bigr )}(s)={\frac {1}{s^{2}}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\} {\grand )}(s)

et ainsi de suite, nous affirmons

J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\ }{\grand )}(s)\droit\}

.

Par exemple,

J^{\alpha }(t^{k})={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\Gamma (k+1)}{s^{\ alpha +k+1}}}\right\}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}

comme prévu. En effet, étant donné la règle de convolution

{\mathcal {L}}\{f*g\}={\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L }}\{g\}{\bigr )}

et en abrégé $p (x) = x α - 1$ pour plus de clarté, nous trouvons que

{\begin{aligned}\left(J^{\alpha }f\right)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^ {-1}\gauche\{{\bigl (}{\mathcal {L}}\{p\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\ int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0 }^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{aligned}}

c'est ce que Cauchy nous a donné plus haut.

Les transformées de Laplace "travaillent" sur relativement peu de fonctions, mais elles sont souvent utiles pour résoudre des équations différentielles fractionnaires.

Intégrales fractionnaires

Intégrale fractionnaire de Riemann-Liouville

La forme classique du calcul fractionnaire est donnée par l' intégrale de Riemann-Liouville , qui est essentiellement ce qui a été décrit ci-dessus. La théorie des fonctions périodiques (incluant donc la "condition aux limites" de répétition après une période) est l' intégrale de Weyl . Il est défini sur les séries de Fourier , et nécessite que le coefficient de Fourier constant s'annule (ainsi, il s'applique aux fonctions sur le cercle unité dont les intégrales s'évaluent à zéro). L'intégrale de Riemann-Liouville existe sous deux formes, supérieure et inférieure. Compte tenu de l' intervalle $[a, b]$ , les intégrales sont définies comme

_{a}D_{t}^{-\alpha }f(t)={}_{a}I_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\ Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau

_{t}D_{b}^{-\alpha }f(t)={}_{t}I_{b}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\ Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau

Où le premier est valable pour $t > a$ et le dernier est valable pour $t < b$ .

En revanche, la dérivée de Grünwald-Letnikov commence par la dérivée au lieu de l'intégrale.

Intégrale fractionnaire d'Hadamard

L' intégrale fractionnaire d'Hadamard est introduite par Jacques Hadamard et est donnée par la formule suivante,

_{a}\mathbf {D} _{t}^{-\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{ t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t >un\,.

Intégrale fractionnaire Atangana-Baleanu

L'intégrale fractionnaire d'Atangana-Baleanu d'une fonction continue est définie comme :

^{AB}{}_{a}I_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1-\alpha }{AB(\alpha )}}f(t)+{ \frac {\alpha }{AB(\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\ tau )\,d\tau

Dérivés fractionnaires

Contrairement aux dérivées newtoniennes classiques, une dérivée fractionnaire est définie via une intégrale fractionnaire.

Dérivées fractionnaires d'une gaussienne, interpolant en continu entre la fonction et sa première dérivée.

Dérivée fractionnaire de Riemann-Liouville

La dérivée correspondante est calculée en utilisant la règle de Lagrange pour les opérateurs différentiels. Le calcul de $n$ ième dérivée d'ordre au-dessus de l'intégrale d'ordre $(n - α)$ , l' $α$ dérivée d'ordre est obtenue. Il est important de remarquer que $n$ est le plus petit entier supérieur à $α$ ( c'est-à-dire $n = ⌈ α ⌉$ ). Semblable aux définitions de l'intégrale de Riemann-Liouville, la dérivée a des variantes supérieure et inférieure.

_{a}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{a}D_{t}^ {-(n-\alpha )}f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{a}I_{t}^{n-\alpha }f (t)

_{t}D_{b}^{\alpha }f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{t}D_{b}^ {-(n-\alpha )}f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{t}I_{b}^{n-\alpha }f (t)

Dérivée fractionnaire Caputo

Une autre option pour calculer les dérivées fractionnaires est la dérivée fractionnaire Caputo. Il a été introduit par Michele Caputo dans son article de 1967. Contrairement à la dérivée fractionnaire de Riemann-Liouville, lors de la résolution d'équations différentielles en utilisant la définition de Caputo, il n'est pas nécessaire de définir les conditions initiales d'ordre fractionnaire. La définition de Caputo est illustrée comme suit, où encore $n = ⌈ α ⌉$ :

{}^{C}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t} {\frac {f^{(n)}(\tau )\,d\tau }{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}.

Il existe la dérivée fractionnaire de Caputo définie comme :

{}D^{\nu }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(tu)^{(n -\nu -1)}f^{(n)}(u)du\qquad (n-1)<\nu <n

qui a l'avantage d'être nul lorsque

f (t)

est constante et sa transformée de Laplace s'exprime à l'aide des valeurs initiales de la fonction et de sa dérivée. De plus, il existe la dérivée fractionnaire de Caputo d'ordre distribué définie comme

{}_{a}^{b}D^{\nu }f(t)=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[D^{(\nu ) }f(t)\right]\,d\nu =\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\ int _{0}^{t}\left(tu\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu

où

φ (ν)

est une fonction de pondération et qui est utilisée pour représenter mathématiquement la présence de plusieurs formalismes de mémoire.

Dérivé fractionnaire de Caputo-Fabrizio

Dans un article de 2015, M. Caputo et M. Fabrizio ont présenté une définition de dérivée fractionnaire à noyau non singulier, pour une fonction de donnée par : ${\style d'affichage f(t)}$ ${\style d'affichage C^{1}}$

_{a}^{CF}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f' (\tau )\exp \left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)d\tau ,

où $a<0,\alpha \in (0,1]$

Dérivé fractionnaire Atangana-Baleanu

En 2016, Atangana et Baleanu ont proposé des opérateurs différentiels basés sur la fonction généralisée de Mittag-Leffler . L'objectif était d'introduire des opérateurs différentiels fractionnaires à noyau non local non singulier. Leurs opérateurs différentiels fractionnaires sont donnés ci-dessous respectivement au sens de Riemann-Liouville et au sens de Caputo. Pour une fonction de donnée par ${\style d'affichage f(t)}$ ${\style d'affichage C^{1}}$

_{a}^{ABC}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{ t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,

Si la fonction est continue, la dérivée d'Atangana-Baleanu au sens de Riemann-Liouville est donnée par :

_{a}^{ABC}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt }}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha } }\right)d\tau ,

Le noyau utilisé dans la dérivée fractionnaire d'Atangana-Baleanu a certaines propriétés d'une fonction de distribution cumulative. Par exemple, pour tous , la fonction est de plus en plus sur la ligne réelle, converge vers dans et . Par conséquent, nous avons que la fonction est la fonction de distribution cumulative d'une mesure de probabilité sur les nombres réels positifs. La distribution est donc définie, et n'importe lequel de ses multiples, est appelé une distribution d'ordre Mittag-Leffler . Il est également bien connu que toutes ces distributions de probabilités sont absolument continues . En particulier, la fonction Mittag-Leffler a un cas particulier , qui est la fonction exponentielle, la distribution d'ordre Mittag-Leffler est donc une distribution exponentielle . Cependant, pour , les distributions de Mittag-Leffler sont à queue lourde . Leur transformée de Laplace est donnée par : $\alpha \in (0,1]$ $E_{\alpha }$ ${\style d'affichage 0}$ $-\infty$ ${\style d'affichage E_{\alpha }(0)=1}$ $x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })$ ${\style d'affichage \alpha }$ ${\style d'affichage E_{1}}$ ${\style d'affichage 1}$ $\alpha \in (0,1)$

\mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},

Cela implique directement que, pour , l'espérance est infinie. De plus, ces distributions sont des distributions géométriques stables . $\alpha \in (0,1)$

Dérivé de Riesz

Le dérivé de Riesz est défini comme

{\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k )=-\gauche|k\droit|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k),

où désigne la transformée de Fourier . ${\mathcal {F}}$

Autres types

Les dérivés fractionnaires classiques comprennent :

Dérivée de Grünwald-Letnikov
Dérivée de Sonin-Letnikov
Dérivé de Liouville
Dérivé Caputo
Dérivé d'Hadamard
Dérivé de Marchaud
Dérivé de Riesz
Dérivée de Miller-Ross
Dérivé de Weyl
Dérivée Erdélyi-Kober

Les nouveaux dérivés fractionnaires comprennent :

Dérivé de Coimbra
Dérivé de Katugampola
Dérivé de Hilfer
Dérivé de Davidson
Dérivé de Chen
Dérivé de Caputo Fabrizio
Dérivé Atangana-Baeanu

Généralisations

Opérateur Erdélyi-Kober

L' opérateur d'Erdélyi-Kober est un opérateur intégral introduit par Arthur Erdélyi (1940). et Hermann Kober (1940) et est donnée par

{\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(tx\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,

qui généralise l' intégrale fractionnaire de Riemann-Liouville et l'intégrale de Weyl.

Calcul fonctionnel

Dans le cadre de l'analyse fonctionnelle , les fonctions $f (D)$ plus générales que les puissances sont étudiées dans le calcul fonctionnel de la théorie spectrale . La théorie des opérateurs pseudo-différentiels permet aussi de considérer des puissances de $D$ . Les opérateurs apparaissant sont des exemples d' opérateurs intégraux singuliers ; et la généralisation de la théorie classique à des dimensions supérieures s'appelle la théorie des potentiels de Riesz . Il existe donc un certain nombre de théories contemporaines disponibles, au sein desquelles le calcul fractionnaire peut être discuté. Voir aussi l' opérateur d'Erdélyi-Kober , important dans la théorie des fonctions spéciales ( Kober 1940 ), ( Erdélyi 1950–51 ).

Applications

Conservation fractionnée de la masse

Comme décrit par Wheatcraft et Meerschaert (2008), une équation de conservation fractionnaire de la masse est nécessaire pour modéliser l'écoulement de fluide lorsque le volume de contrôle n'est pas assez grand par rapport à l'échelle d' hétérogénéité et lorsque le flux dans le volume de contrôle est non linéaire. Dans l'article référencé, l'équation de conservation fractionnaire de la masse pour l'écoulement de fluide est :

-\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \ gauche(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}

Analyse électrochimique

Lors de l'étude du comportement redox d'un substrat en solution, une tension est appliquée à une surface d'électrode pour forcer le transfert d'électrons entre l'électrode et le substrat. Le transfert d'électrons qui en résulte est mesuré sous forme de courant. Le courant dépend de la concentration du substrat à la surface de l'électrode. Au fur et à mesure que le substrat est consommé, le substrat frais diffuse vers l'électrode comme décrit par la loi de Fick . Prendre la transformée de Laplace de la deuxième loi de Fick donne une équation différentielle ordinaire du second ordre (ici sous forme sans dimension):

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)

dont la solution C(x,s) contient une demi-puissance dépendante de s. Prendre la dérivée de C(x,s) puis la transformée de Laplace inverse donne la relation suivante :

{\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dt^{\frac {1}{2}} }}C(x,t)

qui relie la concentration de substrat à la surface de l'électrode au courant. Cette relation est appliquée en cinétique électrochimique pour élucider le comportement mécaniste. Par exemple, il a été utilisé pour étudier le taux de dimérisation de substrats lors d'une réduction électrochimique.

Problème d'écoulement des eaux souterraines

En 2013-2014, Atangana et al. décrit quelques problèmes d'écoulement des eaux souterraines en utilisant le concept de dérivée avec ordre fractionnaire. Dans ces travaux, la loi de Darcy classique est généralisée en considérant le débit d'eau en fonction d'une dérivée d'ordre non entier de la hauteur piézométrique. Cette loi généralisée et la loi de conservation de la masse sont ensuite utilisées pour dériver une nouvelle équation pour l'écoulement des eaux souterraines.

Équation de dispersion d'advection fractionnaire

Cette équation s'est avérée utile pour modéliser le flux de contaminants dans des milieux poreux hétérogènes.

Atangana et Kilicman ont étendu l'équation de dispersion d'advection fractionnaire à une équation d'ordre variable. Dans leur travail, l'équation de dispersion hydrodynamique a été généralisée en utilisant le concept de dérivée d'ordre variationnel . L'équation modifiée a été résolue numériquement via la méthode Crank-Nicolson . La stabilité et la convergence dans les simulations numériques ont montré que l'équation modifiée est plus fiable pour prédire le mouvement de la pollution dans les aquifères déformables que les équations à dérivées fractionnaires et entières constantes

Modèles d'équations de diffusion fractionnaire dans l'espace-temps

Les processus de diffusion anormaux dans les milieux complexes peuvent être bien caractérisés en utilisant des modèles d'équation de diffusion d'ordre fractionnaire. Le terme dérivé dans le temps correspond à la décroissance de queue lourde à long terme et à la dérivée spatiale pour la non-localité de diffusion. L'équation régissant la diffusion fractionnaire dans l'espace-temps peut s'écrire sous la forme

{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.

Une simple extension de la dérivée fractionnaire est la variable dérivée d'ordre fractionnaire, $α$ et $β$ sont modifiés en $α (x, t)$ et $β (x, t)$ . Ses applications dans la modélisation de la diffusion anormale peuvent être trouvées dans la référence.

Modèles d'amortissement structurel

Les dérivés fractionnaires sont utilisés pour modéliser l' amortissement viscoélastique dans certains types de matériaux comme les polymères.

Contrôleurs PID

Généraliser les contrôleurs PID pour utiliser des ordres fractionnaires peut augmenter leur degré de liberté. La nouvelle équation reliant la variable de contrôle $u (t)$ en termes d' une valeur d' erreur mesurée $e (t)$ peut être écrite sous la forme

u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d } }D_{t}^{\beta }e(t)

où $α$ et $β$ sont des ordres fractionnaires positifs et $K p$ , $K i$ et $K d$ , non-négatif, désignent les coefficients pour les proportionnels , intégraux et dérivés termes, respectivement (parfois notée $P$ , $I$ et $D$ ).

Équations d'ondes acoustiques pour milieux complexes

La propagation des ondes acoustiques dans des milieux complexes, comme dans les tissus biologiques, implique couramment une atténuation obéissant à une loi de puissance en fréquence. Ce type de phénomène peut être décrit à l'aide d'une équation d'onde causale qui intègre des dérivées fractionnaires en temps :

\nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}} +\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}} =0\,.

Voir également Holm & Näsholm (2011) et les références qui s'y trouvent. De tels modèles sont liés à l'hypothèse communément admise que de multiples phénomènes de relaxation donnent lieu à l'atténuation mesurée dans les milieux complexes. Ce lien est décrit plus en détail dans Näsholm & Holm (2011b) et dans le document d'enquête, ainsi que dans l' article sur l' atténuation acoustique . Voir Holm & Nasholm (2013) pour un article qui compare les équations d'ondes fractionnaires qui modélisent l'atténuation de la loi de puissance. Ce livre sur l'atténuation de la loi de puissance couvre également le sujet plus en détail.

Pandey et Holm ont donné un sens physique aux équations différentielles fractionnaires en les dérivant de principes physiques et en interprétant l'ordre fractionnaire en termes de paramètres du milieu acoustique, par exemple dans les sédiments marins non consolidés granulaires saturés de fluide. Fait intéressant, Pandey et Holm ont dérivé la loi de Lomnitz en sismologie et la loi de Nutting en rhéologie non newtonienne en utilisant le cadre du calcul fractionnaire. La loi de Nutting a été utilisée pour modéliser la propagation des ondes dans les sédiments marins à l'aide de dérivés fractionnaires.

Équation fractionnaire de Schrödinger en théorie quantique

L' équation fractionnaire de Schrödinger , une équation fondamentale de la mécanique quantique fractionnaire , a la forme suivante :

i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,.

où la solution de l'équation est la fonction d' onde $ψ (r, t)$ - la mécanique quantique amplitude de probabilité pour que la particule d'avoir une donnée vecteur de position $r$ à un moment donné $t$ , et $ħ$ est la constante de Planck réduite . La fonction d' énergie potentielle $V (r, t)$ dépend du système.

De plus, $= \partial 2 / \partial r 2$ est l' opérateur de Laplace , et $D α$ est une constante d'échelle de dimension physique $[D α] = J 1 - α \cdotm α \cdots - α = kg 1 - α \cdotm 2 - α \cdots α - 2$ , (à $α = 2$ , $D 2 = 1 / 2 mètres$ pour une particule de masse $m$ ), et l'opérateur $(- ħ 2 Δ) α /2$ est la dérivée fractionnaire de Riesz tridimensionnelle définie par

(-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \ hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^ {\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.

L'indice $α$ dans l'équation fractionnaire de Schrödinger est l'indice de Lévy, $1 < α \leq 2$ .

Équation de Schrödinger fractionnaire d'ordre variable

En tant que généralisation naturelle de l' équation fractionnaire de Schrödinger , l'équation fractionnaire de Schrödinger d'ordre variable a été exploitée pour étudier les phénomènes quantiques fractionnaires :

i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\alpha (\mathbf {r} )}(\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{\alpha (\mathbf {r} )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\ mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t),

où $= \partial 2 / \partial r 2$ est l' opérateur de Laplace et l'opérateur $(- ħ 2 Δ) β (t)/2$ est la dérivée fractionnaire de Riesz quantique d'ordre variable.

Voir également

Autres théories fractionnaires

Remarques

Les références

Sources

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Lectures complémentaires

Articles concernant l'histoire du calcul fractionnaire

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Livres

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Liens externes

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MathWorld – Calcul fractionnaire
MathWorld – Dérivée fractionnaire
Calcul fractionnaire sur MathPages
Revue spécialisée : Fractional Calculus and Applied Analysis (1998-2014) et Fractional Calculus and Applied Analysis (à partir de 2015)
Revue spécialisée : Fractional Differential Equations (FDE)
Revue spécialisée : Communications in Fractional Calculus ( ISSN 2218-3892 )
Revue spécialisée : Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
www.nasatech.com
La collection d'Igor Podlubny de livres, articles, liens, logiciels, etc.
GigaHedron - Collection de livres, articles, prépublications, etc. de Richard Herrmann.
s.dugowson.free.fr
Histoire, définitions et applications pour l'ingénieur ( PDF ), par Adam Loverro, Université de Notre Dame
Modélisation du calcul fractionnaire
Notes d'introduction sur le calcul fractionnaire
Loi de puissance et dynamique fractionnaire
La CRONE Toolbox, une Toolbox Matlab et Simulink dédiée au calcul fractionnaire, téléchargeable gratuitement
Zavada, Petr (1998). "Opérateur de dérivé fractionnaire dans le plan complexe". Communications en physique mathématique . 192 (2) : 261-285. arXiv : funct-an/9608002 . Bibcode : 1998CMaPh.192..261Z . doi : 10.1007/s002200050299 . S2CID 1201395 .
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