Test de comparaison directe - Direct comparison test

Partie d'une série d'articles sur
Calcul
Théorème fondamental Règle intégrale de Leibniz Limites des fonctions Continuité Théorème de la valeur moyenne Théorème de Rolle
Différentiel Définitions Dérivée  ( généralisations ) Différentiel infinitésimal d'une fonction total Concepts Notation de différenciation Second dérivé Différenciation implicite Différenciation logarithmique Tarifs associés Théorème de Taylor Règles et identités Somme Produit Chaîne Puissance Quotient Règle de l'Hôpital Inverse Général Leibniz La formule de Faà di Bruno
Intégral Listes des intégrales Transformation intégrale Définitions Primordial Intégral  ( incorrect ) Intégrale de Riemann Intégration Lebesgue Intégration de contour Intégrale des fonctions inverses Intégration par les pièces Disques Coques cylindriques Substitution  ( trigonométrique , Weierstrass , Euler ) Formule d'Euler Fractions partielles Changer l'ordre Formules de réduction Différencier sous le signe intégral
Séries Géométrique  ( arithmético-géométrique ) Harmonique En alternance Puissance Binôme Taylor Tests de convergence Limite de sommation (test de terme) Rapport Racine Intégral Comparaison directe Limiter la comparaison Série alternée Condensation de Cauchy Dirichlet Abel
Vecteur Pente Divergence Boucle Laplacien Dérivée directionnelle Identités Théorèmes Pente Légumes verts Stokes ' Divergence Stokes généralisé
Multivariable Formalismes Matrice Tenseur Extérieur Géométrique Définitions Dérivée partielle Intégrale multiple Intégrale de ligne Intégrale de surface Intégrale de volume Jacobien Toile de jute
Spécialisé Fractionnaire Malliavin Stochastique Variations
Glossaire du calcul Glossaire du calcul Liste des sujets de calcul
v t e

En mathématiques , le test de comparaison , parfois appelé test de comparaison directe pour le distinguer de tests similaires similaires (en particulier le test de comparaison limite ), permet de déduire la convergence ou la divergence d'une série infinie ou d'une intégrale incorrecte . Dans les deux cas, le test fonctionne en comparant la série ou l'intégrale donnée à une dont les propriétés de convergence sont connues.

Pour les séries

Dans le calcul , le test de comparaison des séries consiste généralement en une paire d'énoncés sur des séries infinies avec des termes non négatifs ( à valeur réelle ):

• Si la série infinie converge et pour tout n suffisamment grand (c'est-à-dire pour tout pour une valeur fixe N ), alors la série infinie converge également. ${\ displaystyle \ sum b_ {n}}$${\ displaystyle 0 \ leq a_ {n} \ leq b_ {n}}$${\ Displaystyle n> N}$${\ displaystyle \ sum a_ {n}}$
• Si la série infinie diverge et pour tout n suffisamment grand , alors la série infinie diverge également. ${\ displaystyle \ sum b_ {n}}$${\ displaystyle 0 \ leq b_ {n} \ leq a_ {n}}$${\ displaystyle \ sum a_ {n}}$

Notez que la série ayant des termes plus grands est parfois considérée comme dominant (ou finalement dominer ) la série avec des termes plus petits.

Alternativement, le test peut être énoncé en termes de convergence absolue , auquel cas il s'applique également aux séries avec des termes complexes :

• Si la série infinie est absolument convergente et pour tout n suffisamment grand , alors la série infinie est également absolument convergente. ${\ displaystyle \ sum b_ {n}}$${\ displaystyle | a_ {n} | \ leq | b_ {n} |}$${\ displaystyle \ sum a_ {n}}$
• Si la série infinie n'est pas absolument convergente et pour tout n suffisamment grand , alors la série infinie n'est pas non plus absolument convergente. ${\ displaystyle \ sum b_ {n}}$${\ displaystyle | b_ {n} | \ leq | a_ {n} |}$${\ displaystyle \ sum a_ {n}}$

Notez que dans cette dernière déclaration, la série pourrait encore être conditionnellement convergente ; pour les séries à valeur réelle, cela peut se produire si les a _n ne sont pas tous non négatifs. ${\ displaystyle \ sum a_ {n}}$

La deuxième paire d'énoncés est équivalente à la première dans le cas des séries à valeurs réelles car converge absolument si et seulement si , une série avec des termes non négatifs, converge. ${\ displaystyle \ sum c_ {n}}$${\ displaystyle \ sum | c_ {n} |}$

Preuve

Les preuves de toutes les affirmations données ci-dessus sont similaires. Voici une preuve de la troisième déclaration.

Soit et soit une série infinie telle qu'elle converge absolument (donc converge), et sans perte de généralité supposons que pour tout entier positif n . Considérez les sommes partielles${\ displaystyle \ sum a_ {n}}$${\ displaystyle \ sum b_ {n}}$${\ displaystyle \ sum b_ {n}}$${\ displaystyle \ sum | b_ {n} |}$${\ displaystyle | a_ {n} | \ leq | b_ {n} |}$

${\ displaystyle S_ {n} = | a_ {1} | + | a_ {2} | + \ ldots + | a_ {n} |, \ T_ {n} = | b_ {1} | + | b_ {2} | + \ ldots + | b_ {n} |.}$

Depuis converge absolument, pour un certain nombre réel T . Pour tout n , ${\ displaystyle \ sum b_ {n}}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} T_ {n} = T}$

${\ displaystyle 0 \ leq S_ {n} = | a_ {1} | + | a_ {2} | + \ ldots + | a_ {n} | \ leq | a_ {1} | + \ ldots + | a_ {n } | + | b_ {n + 1} | + \ ldots = S_ {n} + (T-T_ {n}) \ leq T.}$

${\ displaystyle S_ {n}}$ est une séquence non décroissante et non croissante. Étant donné que les deux appartiennent à l'intervalle , dont la longueur diminue à zéro au fur et à mesure de l'infini. Cela montre qu'il s'agit d'une séquence de Cauchy , et doit donc converger vers une limite. Par conséquent, est absolument convergent. ${\ displaystyle S_ {n} + (T-T_ {n})}$${\ Displaystyle m, n> N}$${\ displaystyle S_ {n}, S_ {m}}$${\ displaystyle [S_ {N}, S_ {N} + (T-T_ {N})]}$${\ displaystyle T-T_ {N}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle (S_ {n}) _ {n = 1,2, \ ldots}}$${\ displaystyle \ sum a_ {n}}$

Pour les intégrales

Le test de comparaison pour les intégrales peut être énoncé comme suit, en supposant des fonctions à valeurs réelles continues f et g on avec b soit ou un nombre réel auquel f et g ont chacun une asymptote verticale: ${\ displaystyle [a, b)}$${\ displaystyle + \ infty}$

• Si l'intégrale incorrecte converge et pour , alors l'intégrale incorrecte converge également avec ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx}$${\ Displaystyle 0 \ leq f (x) \ leq g (x)}$${\ Displaystyle a \ leq x <b}$${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ leq \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx.}$
• Si l'intégrale incorrecte diverge et pour , alors l'intégrale incorrecte diverge également. ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx}$${\ Displaystyle 0 \ leq g (x) \ leq f (x)}$${\ Displaystyle a \ leq x <b}$${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$

Test de comparaison de rapport

Un autre test de convergence des séries à valeur réelle, similaire au test de comparaison directe ci-dessus et au test de ratio , est appelé test de comparaison de ratio :

• Si la série infinie converge et , et pour tout n suffisamment grand , alors la série infinie converge également. ${\ displaystyle \ sum b_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n}> 0}$${\ displaystyle b_ {n}> 0}$${\ displaystyle {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ leq {\ frac {b_ {n + 1}} {b_ {n}}}}$${\ displaystyle \ sum a_ {n}}$
• Si la série infinie diverge et , et pour tout n suffisamment grand , alors la série infinie diverge également. ${\ displaystyle \ sum b_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n}> 0}$${\ displaystyle b_ {n}> 0}$${\ displaystyle {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ geq {\ frac {b_ {n + 1}} {b_ {n}}}}$${\ displaystyle \ sum a_ {n}}$

Voir également

• Tests de convergence
• Convergence (mathématiques)
• Théorème de convergence dominé
• Test intégral de convergence
• Test de comparaison limite
• Théorème de convergence monotone

Remarques

Références

• Ayres, Frank Jr .; Mendelson, Elliott (1999). Schaum's Outline of Calculus (4e éd.). New York: McGraw-Hill. ISBN   0-07-041973-6 .
• Buck, R. Creighton (1965). Advanced Calculus (2e éd.). New York: McGraw-Hill.
• Knopp, Konrad (1956). Séquences et séries infinies . New York: Publications de Douvres. § 3.1. ISBN   0-486-60153-6 .
• Munem, MA; Foulis, DJ (1984). Calcul avec géométrie analytique (2e éd.). Worth éditeurs. ISBN   0-87901-236-6 .
• Silverman, Herb (1975). Variables complexes . Compagnie Houghton Mifflin. ISBN   0-395-18582-3 .
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1963). A Course in Modern Analysis (4e éd.). La presse de l'Universite de Cambridge. § 2.34. ISBN   0-521-58807-3 .