Règles de différenciation - Differentiation rules

Fait partie d'une série d'articles sur
Calcul
Théorème fondamental Règle intégrale de Leibniz Limites des fonctions Continuité Théorème de la valeur moyenne Le théorème de Rolle
Différentiel Définitions Dérivé  ( généralisations ) Différentiel infinitésimal d'une fonction le total notions Notation de différenciation Dérivée seconde Différenciation implicite Différenciation logarithmique Tarifs associés Le théorème de Taylor Règles et identités Somme Produit Chaîne Puissance Quotient La règle de l'Hôpital Inverse Général Leibniz La formule de Faà di Bruno Reynolds
Intégral Listes d'intégrales Transformation intégrale Définitions Primitive Intégral  ( impropre ) intégrale de Riemann Intégration de Lebesgue Intégration des contours Intégrale des fonctions inverses Intégration par les pièces Disques Coquilles cylindriques Substitution  ( trigonométrique , Weierstrass , Euler ) la formule d'Euler Fractions partielles Modification de l'ordre Formules de réduction Différencier sous le signe intégral Algorithme de Risch
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v t e

Ceci est un résumé des règles de différenciation , c'est-à-dire des règles de calcul de la dérivée d'une fonction en calcul .

Règles élémentaires de différenciation

Sauf indication contraire, toutes les fonctions sont des fonctions de nombres réels ( R ) qui renvoient des valeurs réelles ; bien que plus généralement, les formules ci-dessous s'appliquent partout où elles sont bien définies — y compris le cas des nombres complexes ( C ) .

La différenciation est linéaire

Pour toute fonction et et tout nombre réel et , la dérivée de la fonction par rapport à est ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage g}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage h(x)=af(x)+bg(x)}$${\style d'affichage x}$

${\style d'affichage h'(x)=af'(x)+bg'(x).}$

Dans la notation de Leibniz, cela s'écrit :

${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$

Les cas particuliers incluent :

• La règle du facteur constant

${\style d'affichage (af)'=af'}$

• La règle de la somme

${\style d'affichage (f+g)'=f'+g'}$

• La règle de soustraction

${\style d'affichage (fg)'=f'-g'.}$

La règle du produit

Pour les fonctions f et g , la dérivée de la fonction h ( x ) = f ( x ) g ( x ) par rapport à x est

${\style d'affichage h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}$

Dans la notation de Leibniz cela est écrit

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}$

La règle de la chaîne

La dérivée de la fonction est ${\style d'affichage h(x)=f(g(x))}$

${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$

Dans la notation de Leibniz, cela s'écrit :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d} {dx}}g(x),}$

souvent abrégé en

${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx} }.}$

En se concentrant sur la notion de cartes, et le différentiel étant une carte , cela s'écrit de manière plus concise comme suit : ${\displaystyle {\text{D}}}$

${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}} g]_{x}\,.}$

La règle de la fonction inverse

Si la fonction f a une fonction inverse g , ce qui signifie que et alors ${\style d'affichage g(f(x))=x}$${\style d'affichage f(g(y))=y,}$

${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$

En notation Leibniz, cela s'écrit

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}$

Lois de puissance, polynômes, quotients et réciproques

La règle de puissance polynomiale ou élémentaire

Si , pour tout nombre réel alors ${\style d'affichage f(x)=x^{r}}$${\style d'affichage r\neq 0,}$

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$

Lorsque cela devient le cas particulier que si alors${\style d'affichage r=1,}$${\style d'affichage f(x)=x,}$${\style d'affichage f'(x)=1.}$

La combinaison de la règle de puissance avec la somme et les règles multiples constantes permet le calcul de la dérivée de n'importe quel polynôme.

La règle réciproque

La dérivée de pour toute fonction (non nulle) f est : ${\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$

${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}$où f est non nul.

Dans la notation de Leibniz, cela s'écrit

${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}$

La règle réciproque peut être dérivée soit de la règle du quotient, soit de la combinaison de la règle de puissance et de la règle de chaîne.

La règle du quotient

Si f et g sont des fonctions, alors :

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }$où g est non nul.

Cela peut être dérivé de la règle du produit et de la règle de réciprocité.

Règle de pouvoir généralisée

La règle de puissance élémentaire se généralise considérablement. La règle de puissance la plus générale est la règle de puissance fonctionnelle : pour toutes fonctions f et g ,

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f \right),\quad }$

partout où les deux côtés sont bien définis.

Cas spéciaux

• Si , alors quand a est un nombre réel non nul et x est positif.${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$
• La règle réciproque peut être dérivée comme le cas particulier où .${\textstyle g(x)=-1\!}$

Dérivées de fonctions exponentielles et logarithmiques

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}$

l'équation ci-dessus est vraie pour tout c , mais la dérivée de donne un nombre complexe. ${\textstyle c<0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>1}$

l'équation ci-dessus est également vraie pour tout c , mais donne un nombre complexe si . ${\textstyle c<0\!}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(W(x)\right)={1 \over {x+e^{W(x)}}},\qquad x>-{1 \ sur e}.\qquad }$où est la fonction Lambert W${\style d'affichage W(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\ frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }} f(x)>0,{\text{ et si }}{\frac {df}{dx}}{\text{ et }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ existent.}} }$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}( x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}( x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{ \biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text { et }}}$ ${\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ existe. }}}$

Dérivées logarithmiques

La dérivée logarithmique est une autre façon d'énoncer la règle pour différencier le logarithme d'une fonction (en utilisant la règle de la chaîne):

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }$où f est positif.

La différenciation logarithmique est une technique qui utilise des logarithmes et ses règles de différenciation pour simplifier certaines expressions avant d'appliquer réellement la dérivée.

Les logarithmes peuvent être utilisés pour supprimer des exposants, convertir des produits en sommes et convertir une division en soustraction - chacun pouvant conduire à une expression simplifiée pour prendre des dérivés.

Dérivées de fonctions trigonométriques

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$	${\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x={\frac {e^{-ix}-e^{ix}}{2i}}}$	${\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}}$
${\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-1-\cot ^{2}x}$	${\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'={1 \over -1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\sec x)'=\sec {x}\tan {x}}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\csc x)'=-\csc {x}\cot {x}}$	${\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Les dérivées dans le tableau ci-dessus sont pour lorsque la plage de la sécante inverse est et lorsque la plage de la cosécante inverse est . ${\style d'affichage [0,\pi ]\!}$${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\!}$

Il est courant de définir en plus une fonction tangente inverse avec deux arguments , . Sa valeur se situe dans la plage et reflète le quadrant du point . Pour le premier et le quatrième quadrant (c'est-à-dire ) on a . Ses dérivées partielles sont ${\displaystyle \arctan(y,x)\!}$${\style d'affichage [-\pi ,\pi ]\!}$${\style d'affichage (x,y)\!}$${\displaystyle x>0\!}$${\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)\!}$

${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}$, et ${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Dérivées de fonctions hyperboliques

${\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arsinh} x)'={1 \over {\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arcosh} x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}x}={1 \over \cosh ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x}$	${\displaystyle (\operatorname {artanh} x)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\coth x)'=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{1 \over \sinh ^{2}x}=1-\coth ^{2}x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcoth} x)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\operatorname {sech} x)'=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}}$	${\displaystyle (\operatorname {arsech} x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\operatorname {csch} x)'=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsch} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Voir Fonctions hyperboliques pour les restrictions sur ces dérivés.

Dérivés de fonctions spéciales

Fonction gamma ${\displaystyle \quad \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$ ${\displaystyle \Gamma '(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}$ ${\displaystyle \,=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right) -{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)}$ ${\style d'affichage \,=\Gamma (x)\psi (x)}$ avec étant la fonction digamma , exprimée par l'expression entre parenthèses à droite de dans la ligne ci-dessus. ${\style d'affichage \psi (x)}$${\style d'affichage \Gamma (x)}$

Fonction Riemann Zeta${\displaystyle \quad \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$ ${\displaystyle \zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2} {2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots }$ ${\displaystyle \,=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}} }\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}}$

Dérivées d'intégrales

Supposons qu'il soit nécessaire de différencier par rapport à x la fonction

${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$

où les fonctions et sont toutes les deux continues dans les deux et dans certaines régions du plan, y compris , et les fonctions et sont toutes les deux continues et ont toutes deux des dérivées continues pour . Alors pour : ${\style d'affichage f(x,t)}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)}$${\style d'affichage t}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage (t,x)}$${\style d'affichage a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$${\style d'affichage a(x)}$${\style d'affichage b(x)}$${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$${\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}$

${\style d'affichage F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x )}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}$

Cette formule est la forme générale de la règle intégrale de Leibniz et peut être dérivée en utilisant le théorème fondamental du calcul .

Dérivés d' ordre n

Certaines règles existent pour calculer la dérivée n - ième des fonctions, où n est un entier positif. Ceux-ci inclus:

La formule de Faà di Bruno

Si f et g sont n fois dérivables, alors

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f ^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x )\right)^{k_{m}}}$

où et l'ensemble se compose de toutes les solutions entières non négatives de l'équation diophantienne . ${\displaystyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$${\style d'affichage \{k_{m}\}}$${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$

Règle du général Leibniz

Si f et g sont n fois dérivables, alors

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n} {k}}{\frac {d^{nk}}{dx^{nk}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}$

Voir également

• Identités de calcul vectoriel
• Fonction différentiable
• Différentiel d'une fonction
• Liste des fonctions mathématiques
• Fonctions trigonométriques
• Fonctions trigonométriques inverses
• Fonctions hyperboliques
• Fonctions hyperboliques inverses
• Calcul matriciel
• Différenciation sous le signe intégral

Les références

Sources et lectures complémentaires

Ces règles sont données dans de nombreux livres, à la fois sur le calcul élémentaire et avancé, en mathématiques pures et appliquées. Ceux de cet article (en plus des références ci-dessus) peuvent être trouvés dans:

• Manuel mathématique des formules et des tableaux (3e édition) , S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN  978-0-07-154855-7 .
• The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2 .
• Méthodes mathématiques pour la physique et l'ingénierie , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-86153-3
• Manuel des fonctions mathématiques du NIST , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-19225-5 .

Liens externes

Ressources de la bibliothèque sur les règles de différenciation

Ressources dans votre bibliothèque

• Calculatrice dérivée avec simplification de formule