Calcul géométrique - Geometric calculus

En mathématiques , le calcul géométrique étend l' algèbre géométrique pour inclure la différenciation et l' intégration . Le formalisme est puissant et peut être démontré qu'il englobe d'autres théories mathématiques, y compris la géométrie différentielle et les formes différentielles .

Différenciation

Avec une algèbre géométrique donnée, soit et soit des vecteurs et soit une fonction multivectorielle d'un vecteur. La dérivée directionnelle de long à est définie comme ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle (\ nabla _ {b} F) (a) = \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} {\ frac {F (a + \ epsilon b) -F (a)} {\ epsilon}},}

à condition que la limite existe pour tous , où la limite est prise pour scalaire . Ceci est similaire à la définition habituelle d'une dérivée directionnelle mais l'étend aux fonctions qui ne sont pas nécessairement à valeur scalaire. ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$

Ensuite, choisissez un ensemble de vecteurs de base et considérez les opérateurs, notés , qui effectuent des dérivées directionnelles dans les directions de : ${\ displaystyle \ {e_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {i}}$ ${\ displaystyle e_ {i}}$

{\ displaystyle \ partial _ {i}: F \ mapsto (x \ mapsto (\ nabla _ {e_ {i}} F) (x)).}

Ensuite, en utilisant la notation de sommation d'Einstein , considérez l'opérateur:

{\ displaystyle e ^ {i} \ partial _ {i},}

ce qui signifie

{\ displaystyle F \ mapsto e ^ {i} \ partial _ {i} F,}

où le produit géométrique est appliqué après la dérivée directionnelle. Plus verbeusement:

{\ displaystyle F \ mapsto (x \ mapsto e ^ {i} (\ nabla _ {e_ {i}} F) (x)).}

Cet opérateur est indépendant du choix du cadre, et peut donc être utilisé pour définir la dérivée géométrique :

{\ displaystyle \ nabla = e ^ {i} \ partial _ {i}.}

Ceci est similaire à la définition habituelle du gradient , mais il s'étend également aux fonctions qui ne sont pas nécessairement à valeur scalaire.

La dérivée directionnelle est linéaire par rapport à sa direction, c'est-à-dire:

{\ displaystyle \ nabla _ {\ alpha a + \ beta b} = \ alpha \ nabla _ {a} + \ beta \ nabla _ {b}.}

Il en découle que la dérivée directionnelle est le produit interne de sa direction par la dérivée géométrique. Tout ce qu'il faut observer, c'est que la direction peut être écrite , de sorte que: ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a = (a \ cdot e ^ {i}) e_ {i}}$

{\ displaystyle \ nabla _ {a} = \ nabla _ {(a \ cdot e ^ {i}) e_ {i}} = (a \ cdot e ^ {i}) \ nabla _ {e_ {i}} = a \ cdot (e ^ {i} \ nabla _ {e_ {i}}) = a \ cdot \ nabla.}

Pour cette raison, est souvent noté . ${\ displaystyle \ nabla _ {a} F (x)}$ ${\ Displaystyle a \ cdot \ nabla F (x)}$

L' ordre standard des opérations pour la dérivée géométrique est qu'elle n'agit que sur la fonction la plus proche de sa droite immédiate. Étant donné deux fonctions et , par exemple, nous avons ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle \ nabla FG = (\ nabla F) G.}

Règle du produit

Bien que la dérivée partielle présente une règle de produit , la dérivée géométrique n'hérite que partiellement de cette propriété. Considérez deux fonctions et : ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle {\ begin {aligné} \ nabla (FG) & = e ^ {i} \ partial _ {i} (FG) \\ & = e ^ {i} ((\ partial _ {i} F) G + F (\ partial _ {i} G)) \\ & = e ^ {i} (\ partial _ {i} F) G + e ^ {i} F (\ partial _ {i} G). \ End {aligné}}}

Puisque le produit géométrique n'est pas commutatif avec en général, nous avons besoin d'une nouvelle notation pour procéder. Une solution consiste à adopter la notation overdot , dans laquelle la portée d'une dérivée géométrique avec un overdot est la fonction multivectorielle partageant le même overdot. Dans ce cas, si nous définissons ${\ Displaystyle e ^ {i} F \ neq Fe ^ {i}}$

{\ displaystyle {\ dot {\ nabla}} F {\ dot {G}} = e ^ {i} F (\ partial _ {i} G),}

alors la règle du produit pour la dérivée géométrique est

{\ displaystyle \ nabla (FG) = \ nabla FG + {\ dot {\ nabla}} F {\ dot {G}}.}

Dérivé intérieur et extérieur

Soit un multivecteur de qualité. Ensuite, nous pouvons définir une paire d'opérateurs supplémentaires, les dérivés intérieurs et extérieurs, ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle r}$

{\ displaystyle \ nabla \ cdot F = \ langle \ nabla F \ rangle _ {r-1} = e ^ {i} \ cdot \ partial _ {i} F,}

{\ displaystyle \ nabla \ wedge F = \ langle \ nabla F \ rangle _ {r + 1} = e ^ {i} \ wedge \ partial _ {i} F.}

En particulier, si est de niveau 1 (fonction à valeur vectorielle), alors nous pouvons écrire ${\ displaystyle F}$

{\ displaystyle \ nabla F = \ nabla \ cdot F + \ nabla \ wedge F}

et identifiez la divergence et la boucle comme

{\ displaystyle \ nabla \ cdot F = \ operatorname {div} F,}

{\ displaystyle \ nabla \ wedge F = I \, \ operatorname {curl} F.}

Contrairement à la dérivée géométrique, ni l'opérateur dérivé intérieur ni l'opérateur dérivé extérieur ne sont inversibles.

L'intégration

Soit un ensemble de vecteurs de base couvrant un espace vectoriel -dimensionnel. De l' algèbre géométrique, nous interprétons le pseudoscalaire être le volume de signature du - parallélotope sous - tendu par ces vecteurs de base. Si les vecteurs de base sont orthonormés , il s'agit de l'unité pseudo-scalaire. ${\ displaystyle \ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle e_ {1} \ wedge e_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {n}}$ ${\ displaystyle n}$

Plus généralement, nous pouvons nous limiter à un sous-ensemble des vecteurs de base, où , pour traiter la longueur, la surface ou tout autre -volume général d'un sous-espace dans l' espace vectoriel global -dimensionnel. Nous désignons ces vecteurs de base sélectionnés par . Un -volume général du -parallelotope sous-tendu par ces vecteurs de base est le multivecteur de grade . ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq n}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ {e_ {i_ {1}}, \ ldots, e_ {i_ {k}} \}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle e_ {i_ {1}} \ wedge e_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}}}$

Plus généralement, nous pouvons considérer un nouvel ensemble de vecteurs proportionnels aux vecteurs de base, où chacun des est une composante qui met à l'échelle l'un des vecteurs de base. Nous sommes libres de choisir des composants aussi infiniment petits que nous le souhaitons tant qu'ils restent différents de zéro. Comme le produit extérieur de ces termes peut être interprété comme un -volume, une manière naturelle de définir une mesure est ${\ displaystyle \ {x ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}}, \ ldots, x ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} \}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ {x ^ {i_ {j}} \}}$ ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle {\ begin {aligné} d ^ {k} X & = \ left (dx ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}} \ right) \ wedge \ left (dx ^ {i_ {2}} e_ {i_ {2}} \ right) \ wedge \ cdots \ wedge \ left (dx ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} \ right) \\ & = \ left (e_ {i_ {1} } \ wedge e_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}} \ right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} \ cdots dx ^ {i_ {k }}. \ end {aligné}}}

La mesure est donc toujours proportionnelle à l'unité pseudo -scalaire d'un sous-espace -dimensionnel de l'espace vectoriel. Comparez la forme de volume riemannienne dans la théorie des formes différentielles. L'intégrale est prise par rapport à cette mesure: ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle \ int _ {V} F (x) \, d ^ {k} X = \ int _ {V} F (x) \ left (e_ {i_ {1}} \ wedge e_ {i_ {2} } \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}} \ right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} \ cdots dx ^ {i_ {k}}.}

Plus formellement, considérez un volume dirigé du sous-espace. Nous pouvons diviser ce volume en une somme de simplices . Soit les coordonnées des sommets. À chaque sommet, nous attribuons une mesure comme mesure moyenne des simplices partageant le sommet. Alors l'intégrale de par rapport à sur ce volume est obtenue dans la limite d'un partitionnement plus fin du volume en plus petits simplices: ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ {x_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ Delta U_ {i} (x)}$ ${\ displaystyle F (x)}$ ${\ displaystyle U (x)}$

{\ displaystyle \ int _ {V} F \, dU = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {n} F (x_ {i}) \, \ Delta U_ {i }(X).}

Théorème fondamental du calcul géométrique

La raison de la définition de la dérivée géométrique et de l'intégrale comme ci-dessus est qu'ils permettent une forte généralisation du théorème de Stokes . Soit une fonction multivectorielle de l' entrée -grade et de la position générale , linéaire dans son premier argument. Ensuite, le théorème fondamental du calcul géométrique relie l'intégrale d'une dérivée sur le volume à l'intégrale sur sa frontière: ${\ displaystyle {\ mathsf {L}} (A; x)}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle \ int _ {V} {\ dot {\ mathsf {L}}} \ left ({\ dot {\ nabla}} dX; x \ right) = \ oint _ {\ partial V} {\ mathsf { L}} (dS; x).}$

Par exemple, laissez pour une fonction à valeur vectorielle et un multivecteur de qualité ( ) . Nous trouvons que ${\ displaystyle {\ mathsf {L}} (A; x) = \ langle F (x) AI ^ {- 1} \ rangle}$ ${\ displaystyle F (x)}$ ${\ displaystyle n-1}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle {\ begin {aligné} \ int _ {V} {\ dot {\ mathsf {L}}} \ left ({\ dot {\ nabla}} dX; x \ right) & = \ int _ {V } \ langle {\ dot {F}} (x) {\ dot {\ nabla}} \, dX \, I ^ {- 1} \ rangle \\ & = \ int _ {V} \ langle {\ dot { F}} (x) {\ dot {\ nabla}} \, | dX | \ rangle \\ & = \ int _ {V} \ nabla \ cdot F (x) \, | dX |. \ End {aligné} }}

Également,

{\ displaystyle {\ begin {aligné} \ oint _ {\ partial V} {\ mathsf {L}} (dS; x) & = \ oint _ {\ partial V} \ langle F (x) \, dS \, I ^ {- 1} \ rangle \\ & = \ oint _ {\ partial V} \ langle F (x) {\ hat {n}} \, | dS | \ rangle \\ & = \ oint _ {\ partial V} F (x) \ cdot {\ hat {n}} \, | dS |. \ End {aligné}}}

On retrouve ainsi le théorème de divergence ,

{\ displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot F (x) \, | dX | = \ oint _ {\ partial V} F (x) \ cdot {\ hat {n}} \, | dS |. }

Dérivée covariante

Une -surface suffisamment lisse dans un espace -dimensionnel est considérée comme une variété . À chaque point de la variété, nous pouvons attacher une lame qui est tangente à la variété. Localement, agit comme un pseudoscalaire de l' espace -dimensionnel. Cette lame définit une projection de vecteurs sur la variété: ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {B} (A) = (A \ cdot B ^ {- 1}) B.}

Tout comme la dérivée géométrique est définie sur tout l'espace -dimensionnel, on peut souhaiter définir une dérivée intrinsèque , définie localement sur la variété: ${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ partial}$

{\ displaystyle \ partial F = {\ mathcal {P}} _ {B} (\ nabla) F.}

(Remarque: le côté droit de ce qui précède peut ne pas se trouver dans l'espace tangent au collecteur. Par conséquent, ce n'est pas le même que , qui se trouve nécessairement dans l'espace tangent.) ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {B} (\ nabla F)}$

Si est un vecteur tangent à la variété, alors en effet tant la dérivée géométrique que la dérivée intrinsèque donnent la même dérivée directionnelle: ${\ displaystyle a}$

{\ Displaystyle a \ cdot \ partial F = a \ cdot \ nabla F.}

Bien que cette opération soit parfaitement valable, elle n'est pas toujours utile car elle-même n'est pas forcément sur le collecteur. Par conséquent, nous définissons la dérivée covariante comme étant la projection forcée de la dérivée intrinsèque sur la variété: ${\ displaystyle \ partial F}$

{\ displaystyle a \ cdot DF = {\ mathcal {P}} _ {B} (a \ cdot \ partial F) = {\ mathcal {P}} _ {B} (a \ cdot {\ mathcal {P}} _ {B} (\ nabla) F).}

Puisque tout multivecteur général peut être exprimé comme la somme d'une projection et d'un rejet, dans ce cas

{\ displaystyle a \ cdot \ partial F = {\ mathcal {P}} _ {B} (a \ cdot \ partial F) + {\ mathcal {P}} _ {B} ^ {\ perp} (a \ cdot \ partial F),}

nous introduisons une nouvelle fonction, le tenseur de forme , qui satisfait ${\ displaystyle {\ mathsf {S}} (a)}$

{\ displaystyle F \ times {\ mathsf {S}} (a) = {\ mathcal {P}} _ {B} ^ {\ perp} (a \ cdot \ partial F),}

où est le produit du collecteur . Dans une base de coordonnées locales couvrant la surface tangente, le tenseur de forme est donné par ${\ displaystyle \ times}$ ${\ displaystyle \ {e_ {i} \}}$

{\ displaystyle {\ mathsf {S}} (a) = e ^ {i} \ wedge {\ mathcal {P}} _ {B} ^ {\ perp} (a \ cdot \ partial e_ {i}).}

Fait important, sur une variété générale, la dérivée covariante ne commute pas. En particulier, le collecteur est lié au tenseur de forme par

{\ displaystyle [a \ cdot D, \, b \ cdot D] F = - ({\ mathsf {S}} (a) \ times {\ mathsf {S}} (b)) \ ​​times F.}

Il est clair que le terme est intéressant. Cependant, comme le dérivé intrinsèque, il n'est pas nécessairement sur la variété. Par conséquent, nous pouvons définir le tenseur de Riemann comme étant la projection de retour sur la variété: ${\ displaystyle {\ mathsf {S}} (a) \ times {\ mathsf {S}} (b)}$

{\ displaystyle {\ mathsf {R}} (a \ wedge b) = - {\ mathcal {P}} _ {B} ({\ mathsf {S}} (a) \ times {\ mathsf {S}} ( b)).}

Enfin, si est de qualité , alors nous pouvons définir les dérivées covariantes intérieures et extérieures comme ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle r}$

{\ displaystyle D \ cdot F = \ langle DF \ rangle _ {r-1},}

{\ displaystyle D \ wedge F = \ langle DF \ rangle _ {r + 1},}

et de même pour le dérivé intrinsèque.

Relation à la géométrie différentielle

Sur une variété, on peut attribuer localement une surface tangente enjambée par un ensemble de vecteurs de base . Nous pouvons associer les composants d'un tenseur métrique , les symboles de Christoffel et le tenseur de courbure de Riemann comme suit: ${\ displaystyle \ {e_ {i} \}}$

{\ displaystyle g_ {ij} = e_ {i} \ cdot e_ {j},}

{\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = (e_ {i} \ cdot De_ {j}) \ cdot e ^ {k},}

{\ displaystyle R_ {ijkl} = ({\ mathsf {R}} (e_ {i} \ wedge e_ {j}) \ cdot e_ {k}) \ cdot e_ {l}.}

Ces relations intègrent la théorie de la géométrie différentielle dans le calcul géométrique.

Relation avec les formes différentielles

Dans un système de coordonnées local ( ), les différentiels de coordonnées , ..., forment un ensemble de base de formes uniques dans le diagramme de coordonnées . Étant donné un multi-index avec for , on peut définir une -form ${\ displaystyle x ^ {1}, \ ldots, x ^ {n}}$ ${\ displaystyle dx ^ {1}}$ ${\ displaystyle dx ^ {n}}$ ${\ displaystyle I = (i_ {1}, \ ldots, i_ {k})}$ ${\ displaystyle 1 \ leq i_ {p} \ leq n}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq k}$ ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle \ omega = f_ {I} \, dx ^ {I} = f_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k}} \, dx ^ {i_ {1}} \ wedge dx ^ { i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}}.}

Nous pouvons également introduire un multivecteur de qualité comme ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle A = f_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k}} e ^ {i_ {1}} \ wedge e ^ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e ^ {i_ {k}}}

et une mesure

{\ displaystyle {\ begin {aligné} d ^ {k} X & = \ left (dx ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}} \ right) \ wedge \ left (dx ^ {i_ {2}} e_ {i_ {2}} \ right) \ wedge \ cdots \ wedge \ left (dx ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} \ right) \\ & = \ left (e_ {i_ {1} } \ wedge e_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}} \ right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} \ cdots dx ^ {i_ {k }}. \ end {aligné}}}

Hormis une subtile différence de sens pour le produit extérieur par rapport aux formes différentielles par rapport au produit extérieur par rapport aux vecteurs (dans le premier les incréments sont des covecteurs, alors que dans le second ils représentent des scalaires), on voit les correspondances de la forme différentielle