Différenciation logarithmique - Logarithmic differentiation

En calcul , la différenciation logarithmique ou la différenciation en prenant des logarithmes est une méthode utilisée pour différencier des fonctions en employant la dérivée logarithmique d'une fonction f ,

${\ displaystyle (\ ln f) '= {\ frac {f'} {f}} \ quad \ implique \ quad f '= f \ cdot (\ ln f)'.}$

La technique est souvent utilisée dans les cas où il est plus facile de différencier le logarithme d'une fonction plutôt que la fonction elle-même. Cela se produit généralement dans les cas où la fonction d'intérêt est composée d'un produit d'un certain nombre de parties, de sorte qu'une transformation logarithmique la transformera en une somme de parties séparées (ce qui est beaucoup plus facile à différencier). Il peut également être utile lorsqu'il est appliqué à des fonctions élevées à la puissance de variables ou de fonctions. La différenciation logarithmique repose sur la règle de la chaîne ainsi que sur les propriétés des logarithmes (en particulier, le logarithme naturel , ou le logarithme à la base e ) pour transformer les produits en sommes et les divisions en soustractions. Le principe peut être mis en œuvre, au moins en partie, dans la différenciation de presque toutes les fonctions différentiables , à condition que ces fonctions soient non nulles.

Aperçu

Pour une fonction

${\ Displaystyle y = f (x) \, \!}$

la différenciation logarithmique commence généralement par prendre le logarithme naturel, ou le logarithme à la base e , des deux côtés, en se rappelant de prendre des valeurs absolues:

${\ Displaystyle \ ln | y | = \ ln | f (x) |. \, \!}$

Après différenciation implicite :

${\ displaystyle {\ frac {1} {y}} {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {f '(x)} {f (x)}}.}$

Une multiplication par y est alors effectuée pour éliminer 1 / y et ne laisser que dy / dx sur le côté gauche :

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = y \ times {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = f' (x).}$

La méthode est utilisée parce que les propriétés des logarithmes fournissent des pistes pour simplifier rapidement les fonctions compliquées à différencier. Ces propriétés peuvent être manipulées après la prise de logarithmes naturels des deux côtés et avant la différenciation préliminaire. Les lois de logarithme les plus couramment utilisées sont

${\ displaystyle \ ln (ab) = \ ln (a) + \ ln (b), \ qquad \ ln \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = \ ln (a) - \ ln (b), \ qquad \ ln (a ^ {n}) = n \ ln (a).}$

Cas général

En utilisant la notation pi majuscule ,

${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i} (f_ {i} (x)) ^ {\ alpha _ {i} (x)}.}$

L'application de logarithmes naturels entraîne (avec la notation sigma majuscule )

${\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ sum _ {i} \ alpha _ {i} (x) \ cdot \ ln (f_ {i} (x)),}$

et après différenciation,

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = \ sum _ {i} \ left [\ alpha _ {i}' (x) \ cdot \ ln (f_ {i} ( x)) + \ alpha _ {i} (x) \ cdot {\ frac {f_ {i} '(x)} {f_ {i} (x)}} \ right].}$

Réorganiser pour obtenir le dérivé de la fonction d'origine,

${\ displaystyle f '(x) = \ overbrace {\ prod _ {i} (f_ {i} (x)) ^ {\ alpha _ {i} (x)}} ^ {f (x)} \ times \ accolade {\ sum _ {i} \ left \ {\ alpha _ {i} '(x) \ cdot \ ln (f_ {i} (x)) + \ alpha _ {i} (x) \ cdot {\ frac {f_ {i} '(x)} {f_ {i} (x)}} \ right \}} ^ {[\ ln (f (x))]'}.}$

Dérivés d'ordre supérieur

En utilisant la formule de Faà di Bruno , la dérivée logarithmique d'ordre n est,

${\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} \ ln f (x) = \ sum _ {m_ {1} + 2m_ {2} + \ cdots + nm_ {n} = n} {\ frac {n!} {m_ {1}! \, m_ {2}! \, \ cdots \, m_ {n}!}} \ cdot {\ frac {(-1) ^ {m_ {1} + \ cdots + m_ {n} -1} (m_ {1} + \ cdots + m_ {n} -1)!} {f (x) ^ {m_ {1} + \ cdots + m_ {n}}}} \ cdot \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {f ^ {(j)} (x)} {j!}} \ right) ^ {m_ {j}}.}$

En utilisant cela, les quatre premiers dérivés sont,

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' (x)} {f (x)}} - \ gauche ( {\ frac {f '(x)} {f (x)}} \ right) ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {3}} {dx ^ {3}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' '(x)} {f (x)}} - 3 { \ frac {f '(x) f' '(x)} {f (x) ^ {2}}} + 2 \ gauche ({\ frac {f' (x)} {f (x)}} \ droite ) ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {4}} {dx ^ {4}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' '' (x)} {f (x)}} - 4 {\ frac {f '(x) f' '' (x)} {f (x) ^ {2}}} - 3 \ gauche ({\ frac {f '' (x)} {f (x)} } \ droite) ^ {2} +12 {\ frac {f '(x) ^ {2} f' '(x)} {f (x) ^ {3}}} - 6 \ gauche ({\ frac { f '(x)} {f (x)}} \ droite) ^ {4}}$

Applications

Des produits

Un logarithme naturel est appliqué à un produit de deux fonctions

${\ Displaystyle f (x) = g (x) h (x) \, \!}$

transformer le produit en somme

${\ Displaystyle \ ln (f (x)) = \ ln (g (x) h (x)) = \ ln (g (x)) + \ ln (h (x)). \, \!}$

Différencier en appliquant la chaîne et les règles de somme donne

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = {\ frac {g' (x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} { h (x)}},}$

et, après réarrangement, donne

${\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g' (x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} { h (x)}} {\ Bigg \}} = g (x) h (x) \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g '(x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} {h (x)}} {\ Bigg \}}.}$

Quotients

Un logarithme naturel est appliqué à un quotient de deux fonctions

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {g (x)} {h (x)}} \, \!}$

transformer la division en soustraction

${\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ ln {\ Bigg (} {\ frac {g (x)} {h (x)}} {\ Bigg)} = \ ln (g (x)) - \ ln (h (x)) \, \!}$

Différencier en appliquant la chaîne et les règles de somme donne

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = {\ frac {g' (x)} {g (x)}} - {\ frac {h '(x)} { h (x)}},}$

et, après réarrangement, donne

${\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g' (x)} {g (x)}} - {\ frac {h '(x)} { h (x)}} {\ Bigg \}} = {\ frac {g (x)} {h (x)}} \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g '(x)} {g ( x)}} - {\ frac {h '(x)} {h (x)}} {\ Bigg \}}.}$

Après avoir multiplié et utilisé la formule du dénominateur commun, le résultat est le même qu'après avoir appliqué la règle du quotient directement à . ${\ displaystyle f (x)}$

Exposant composite

Pour une fonction de la forme

${\ Displaystyle f (x) = g (x) ^ {h (x)} \, \!}$

Le logarithme naturel transforme l'exponentiation en produit

${\ Displaystyle \ ln (f (x)) = \ ln \ left (g (x) ^ {h (x)} \ right) = h (x) \ ln (g (x)) \, \!}$

Différencier en appliquant la chaîne et les règles produit donne

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = h' (x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} { g (x)}},}$

et, après réarrangement, donne

${\ Displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} h' (x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} { g (x)}} {\ Bigg \}} = g (x) ^ {h (x)} \ times {\ Bigg \ {} h '(x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} {g (x)}} {\ Bigg \}}.}$

Le même résultat peut être obtenu en réécrivant f en termes d' exp et en appliquant la règle de chaîne.

Voir également

• Dérivé de Darboux
• Formulaire Maurer – Cartan
• Groupe de mensonge
• Liste des sujets relatifs au logarithme
• Liste des identités logarithmiques

Remarques