Théorème de Cauchy (théorie des groupes) - Cauchy's theorem (group theory)

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
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Groupes discrets Treillis Entiers ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe gratuit Groupes modulaires PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle GL linéaire général ( n ) Linéaire spécial SL( n ) O orthogonal ( n ) Euclidien E( n ) Spécial orthogonal SO( n ) Unitaire U( n ) Unité spéciale SU( n ) Sp symplectique ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie de dimension infinie O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

En mathématiques , en particulier en théorie des groupes , le théorème de Cauchy stipule que si G est un groupe fini et p est un nombre premier divisant l' ordre de G (le nombre d'éléments dans G ), alors G contient un élément d'ordre p . C'est-à-dire qu'il existe x dans G tel que p est le plus petit entier positif avec x ^p = e , où e est l' élément d'identité de G . Il porte le nom d' Augustin-Louis Cauchy , qui le découvrit en 1845.

Le théorème est lié au théorème de Lagrange , qui déclare que l'ordre de tout sous - groupe d'un groupe fini G divise l'ordre de G . Le théorème de Cauchy implique que pour tout diviseur premier p de l'ordre de G , il existe un sous-groupe de G dont l'ordre est p — le groupe cyclique engendré par l'élément dans le théorème de Cauchy.

Le théorème de Cauchy est généralisé par le premier théorème de Sylow , qui implique que si p ⁿ est la puissance maximale de p divisant l'ordre de G , alors G a un sous-groupe d'ordre p ⁿ (et en utilisant le fait qu'un p -groupe est résoluble , on peut montrer que G a des sous-groupes d'ordre p ^r pour tout r inférieur ou égal à n ).

Déclaration et preuve

De nombreux textes prouvent le théorème à l'aide de l' induction forte et de l' équation de classe , bien que beaucoup moins de machines soient nécessaires pour prouver le théorème dans le cas abélien . On peut aussi invoquer des actions de groupe pour la preuve.

Preuve 1

Nous démontrons d'abord le cas particulier où G est abélien , puis le cas général ; les deux preuves sont par récurrence sur n  = | G |, et ont comme cas de départ n  =  p qui est trivial car tout élément non identitaire a maintenant l'ordre p . Supposons d'abord que G soit abélien. Prenez n'importe quel élément non identitaire a et soit H le groupe cyclique qu'il génère. Si p divise | H |, puis un ^{| H |/ p} est un élément d'ordre p . Si p ne divise pas | H |, alors il divise l'ordre [ G : H ] du groupe quotient G / H , qui contient donc un élément d'ordre p par l'hypothèse inductive. Cet élément est une classe xH pour un certain x dans G , et si m est l' ordre de x dans G , alors x ^m  =  e dans G donne ( xH ) ^m  =  eH dans G / H , donc p divise m ; comme auparavant x ^{m / p} est maintenant un élément d'ordre p dans G , complétant la preuve pour le cas abélien.

Dans le cas général, soit Z le centre de G , qui est un sous-groupe abélien. Si p divise | Z |, puis Z contient un élément d'ordre p par le cas des groupes abéliens, et cet élément fonctionne pour G aussi. On peut donc supposer que p ne divise pas l'ordre de Z . Puisque p divise | G |, et G est l'union disjointe de Z et des classes de conjugaison d'éléments non centraux, il existe une classe de conjugaison d'un élément non central a dont la taille n'est pas divisible par p . Mais l' équation de classe montre que la taille est [ G  : C _G ( a )], donc p divise l'ordre du centralisateur C _G ( a ) de a dans G , qui est un sous-groupe propre car a n'est pas central. Ce sous-groupe contient un élément d'ordre p par l'hypothèse inductive, et nous avons terminé.

Preuve 2

Cette preuve utilise le fait que pour toute action d'un groupe (cyclique) d'ordre premier p , les seules tailles d'orbite possibles sont 1 et p , ce qui est immédiat d'après le théorème du stabilisateur d'orbite .

L'ensemble sur lequel notre groupe cyclique doit agir est l'ensemble

${\displaystyle X=\{\,(x_{1},\ldots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e\,\ }}$

de p -uplets d'éléments de G dont le produit (dans l'ordre) donne l'identité. Un tel p -uplet est déterminé de manière unique par tous ses composants sauf le dernier, car le dernier élément doit être l'inverse du produit de ces éléments précédents. On voit aussi que ces p − 1 éléments peuvent être choisis librement, donc X a | G | ^{p -1} éléments, qui est divisible par p .

Or du fait que dans un groupe si ab = e alors aussi ba = e , il s'ensuit que toute permutation cyclique des composantes d'un élément de X donne à nouveau un élément de X . On peut donc définir une action du groupe cyclique C _p d'ordre p sur X par des permutations cycliques de composantes, c'est-à-dire dans lesquelles un générateur choisi de C _p envoie

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\ldots ,x_{p},x_{1})}$.

Comme indiqué, les orbites dans X sous cette action ont soit la taille 1 soit la taille p . Le premier se produit précisément pour les tuples pour lesquels . En comptant les éléments de X par orbites, et en réduisant modulo p , on voit que le nombre d'éléments satisfaisant est divisible par p . Mais x = e est l'un de ces éléments, il doit donc y avoir au moins p − 1 autres solutions pour x , et ces solutions sont des éléments d'ordre p . Ceci termine la preuve. ${\style d'affichage (x,x,\ldots ,x)}$${\style d'affichage x^{p}=e}$${\style d'affichage x^{p}=e}$

Les usages

Une conséquence pratiquement immédiate du théorème de Cauchy est une caractérisation utile des p -groupes finis , où p est un nombre premier. En particulier, un groupe fini G est un p -groupe (c'est-à-dire que tous ses éléments sont d'ordre p ^k pour un nombre naturel k ) si et seulement si G est d'ordre p ⁿ pour un nombre naturel n . On peut utiliser le cas abélien du théorème de Cauchy dans une preuve inductive du premier des théorèmes de Sylow, similaire à la première preuve ci-dessus, bien qu'il existe également des preuves qui évitent de faire ce cas particulier séparément.

Exemple 1

Soit G un groupe fini où x ² = e pour tout élément x de G . Alors G est d'ordre 2 ⁿ pour un entier non négatif n . Laissez | G | est m . Dans le cas où m est 1, alors G = { e } . Dans le cas de m 2 , si m a le facteur premier impair p , G a l'élément x où x ^p = e du théorème de Cauchy. Cela contredit l'hypothèse. Par conséquent, m doit être égal à 2 ⁿ . G est un groupe abélien et G est appelé un 2-groupe abélien élémentaire ou groupe booléen . L'exemple bien connu est le groupe des quatre de Klein .

Exemple 2

Un groupe abélien simple est soit { e } soit un groupe cyclique C _p dont l'ordre est un nombre premier p . Soit G un groupe abélien, alors tous les sous-groupes de G sont des sous-groupes normaux . Donc, si G est un groupe simple, G n'a qu'un sous-groupe normal qui est soit { e } soit G . Si | G | = 1 , alors G est { e } . Il est adapté. Si | G | ≥ 2 , laissez un ∈ G est pas e , le groupe cyclique est sous - groupe de G et n'est pas { e } , puis Soit n est à l'ordre . Si n est infini, alors ${\displaystyle \langle a\rangle }$${\displaystyle \langle a\rangle }$${\displaystyle G=\langle a\rangle .}$${\displaystyle \langle a\rangle }$

${\displaystyle G=\langle a\rangle \supsetneqq \langle a^{2}\rangle \supsetneqq \{e\}.}$

Donc dans ce cas, ça ne convient pas. Alors n est fini. Si n est composé, n est divisible par q premier qui est inférieur à n . D'après le théorème de Cauchy, le sous-groupe H existera dont l'ordre est q , il ne convient pas. Par conséquent, n doit être un nombre premier.

Remarques

Les références

• Cauchy, Augustin-Louis (1845), "Mémoire sur arrangements que l'on peut former avec des lettres, sur les permutations ou substitutions à l'aide utile on passe d'un arrangement à un autre" , Exercises d' analyse et de physique mathématique , Paris, 3 : 151-252
• Cauchy, Augustin-Louis (1932), Oeuvres complètes (PDF) , deuxième série, 13 (éd. réimprimé), Paris : Gauthier-Villars, pp. 171-282
• Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic Algebra , Dover Books on Mathematics, I (deuxième éd.), Dover Publications , p. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
• McKay, James H. (1959), "Another proof of Cauchy's group theorem", American Mathematical Monthly , 66 (2) : 119, CiteSeerX  10.1.1.434.3544 , doi : 10.2307/2310010 , JSTOR  2310010 , MR  0098777 , Zbl  0082.02601

Liens externes

• "Théorème de Cauchy" . PlanèteMath .
• "Preuve du théorème de Cauchy" . PlanèteMath .