Glossaire de la théorie des groupes - Glossary of group theory

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe de quotients Produit (semi-) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de couronne Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble action Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie des groupes
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Le théorème de Cauchy Le théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe de quaternions Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe gratuit Groupes modulaires PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle GL linéaire général ( n ) Linéaire spécial SL( n ) O orthogonal ( n ) Euclidien E( n ) Spécial orthogonal SO( n ) Unitaire U( n ) Unité spéciale SU( n ) Sp symplectique ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie de dimension infinie O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

Un groupe est un ensemble avec une opération associative qui admet un élément identité et telle que chaque élément a un inverse .

Tout au long de l'article, nous utilisons pour désigner l'élément d'identité d'un groupe. ${\style d'affichage e}$

UNE

groupe abélien

Un groupe est commutatif si est commutative, à savoir pour tous , ∈ . De même, un groupe non abélien si cette relation ne tient pas pour tout couple , ∈ .${\style d'affichage (G,*)}$${\style d'affichage *}$${\style d'affichage g*h=h*g}$${\style d'affichage g}$${\style d'affichage h}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage g}$${\style d'affichage h}$${\style d'affichage G}$

sous-groupe ascendant

Un sous-groupe H d'un groupe G est ascendant s'il existe une série de sous-groupes ascendants partant de H et se terminant en G , telle que chaque terme de la série est un sous-groupe normal de son successeur. La série peut être infinie. Si la série est finie, alors le sous-groupe est subnormal .

automorphisme

Un automorphisme d'un groupe est un isomorphisme du groupe à lui-même.

C

centre d'un groupe

Le centre d'un groupe G , notée Z ( G ) , est l'ensemble de ces éléments du groupe qui commutent avec tous les éléments de G , qui est, l'ensemble de tous les h ∈ G tel que hg = gh pour tout g ∈ G . Z( G ) est toujours un sous-groupe normal de G . Un groupe  G est abélien si et seulement si Z( G ) = G .

groupe sans centre

Un groupe G est sans centre si son centre Z( G ) est trivial .

sous-groupe central

Un sous - groupe d'un groupe est un sous - groupe central de ce groupe s'il se trouve à l'intérieur du centre du groupe .

fonction de classe

Une fonction de classe sur un groupe G est une fonction qu'elle est constante sur les classes de conjugaison de G .

numéro de classe

Le numéro de classe d'un groupe est le nombre de ses classes de conjugaison .

commutateur

Le commutateur de deux éléments g et h d'un groupe  G est l'élément [ g , h ] = g ⁻¹ h ⁻¹ gh . Certains auteurs définissent le commutateur comme [ g , h ] = ghg ⁻¹ h ^{−1 à la} place. Le commutateur de deux éléments g et h est égal à l'identité du groupe si et seulement si g et h permutent, c'est-à-dire si et seulement si gh = hg .

sous-groupe de collecteur

Le sous -groupe de commutateurs ou sous -groupe dérivé d'un groupe est le sous-groupe généré par tous les commutateurs du groupe.

série de compositions

Une série de composition d'un groupe G est une série subnormale de longueur finie

${\displaystyle 1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,}$

avec des inclusions strictes, telles que chaque H _i est un sous- groupe normal strict maximal de H _{i +1} . De manière équivalente, une série de composition est une série subnormale telle que chaque groupe de facteurs H _{i +1} / H _i est simple . Les groupes de facteurs sont appelés facteurs de composition.

sous-groupe fermé de conjugaison

Un sous - groupe d'un groupe est dit conjugaison fermée si deux éléments du sous-groupe qui sont conjugués dans le groupe sont également conjugués dans le sous-groupe.

classe de conjugaison

Les classes de conjugaison d'un groupe G sont les sous-ensembles de G contenant des éléments de groupe qui sont conjugués les uns avec les autres.

éléments conjugués

Deux éléments x et y d'un groupe  G sont conjugués s'il existe un élément g ∈ G tel que g ⁻¹ xg = y . L'élément g ^-1 xg , noté x ^g , est appelé le conjugué de x par g . Certains auteurs définissent le conjugué de x par g comme gxg ⁻¹ . Ceci est souvent noté ^g x . La conjugaison est une relation d'équivalence . Ses classes d'équivalence sont appelées classes de conjugaison .

sous-groupes conjugués

Deux sous-groupes H ₁ et H ₂ d'un groupe G sont des sous - groupes conjugués s'il existe un g ∈ G tel que gH ₁ g ^-1 = H ₂ .

sous-groupe contrenormal

Un sous - groupe d'un groupe G est un sous - groupe contrenormal de G si sa fermeture normale est G lui-même.

groupe cyclique

Un groupe cyclique est un groupe généré par un seul élément, c'est-à-dire un groupe tel qu'il y a un élément g dans le groupe tel que chaque autre élément du groupe peut être obtenu en appliquant à plusieurs reprises l'opération de groupe à  g ou à son inverse.

ré

sous-groupe dérivé

Synonyme de sous-groupe de commutateurs .

produit direct

Le produit direct de deux groupes G et H , noté G × H , est le produit cartésien des ensembles sous-jacents de G et H , équipés d'une opération binaire définie par composants ( g ₁ , h ₁ ) · ( g ₂ , h ₂ ) = ( g ₁ ⋅ g ₂ , h ₁ ⋅ h ₂ ) . Avec cette opération, G × H forme lui-même un groupe.

F

groupe de facteurs

Synonyme de groupe quotient .

FC-groupe

Un groupe est un groupe FC si chaque classe de conjugaison de ses éléments a une cardinalité finie.

groupe fini

Un groupe fini est un groupe d' ordre fini , c'est-à-dire un groupe avec un nombre fini d'éléments.

groupe de type fini

Un groupe G est de type fini s'il existe un ensemble générateur fini , c'est-à-dire s'il existe un ensemble fini S d'éléments de G tel que tout élément de G peut s'écrire comme la combinaison d'un nombre fini d'éléments de S et d'inverses de des éléments de S .

g

groupe électrogène

Un ensemble générateur d'un groupe G est un sous-ensemble S de G tel que chaque élément de G peut être exprimé comme une combinaison (sous l'opération de groupe) d'un nombre fini d'éléments de S et d'inverses d'éléments de S .

automorphisme de groupe

Voir automorphisme .

homomorphisme de groupe

Voir homomorphisme .

isomomorphisme de groupe

Voir isomomorphisme .

H

homomorphisme

Étant donné deux groupes ( G , ∗) et ( H , ·) , un homomorphisme de G dans H est une fonction h  : G → H telle que pour tout a et b dans G , h ( a ∗ b ) = h ( a ) · h ( b ) .

je

indice d'un sous-groupe

L' indice d'un sous - groupe H d'un groupe G , noté | G  : H | ou [ G  : H ] ou ( G  : H ) , est le nombre de classes de H dans G . Pour un sous-groupe normal N d'un groupe G , l'indice de N dans G est égal à l' ordre du quotient du groupe G / N . Pour un sous- groupe fini H d'un groupe fini G , l'indice de H dans G est égal au quotient des ordres de G et H .

isomorphisme

Étant donné deux groupes ( G , ) et ( H , ·) , un isomorphisme entre G et H est un homomorphisme bijectif de G vers H , c'est-à-dire une correspondance bijective entre les éléments des groupes d'une manière qui respecte les opérations de groupe données. Deux groupes sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de groupe transposé de l'un à l'autre. Les groupes isomorphes peuvent être considérés comme essentiellement les mêmes, mais avec des étiquettes différentes sur les éléments individuels.

L

treillis de sous-groupes

Le réseau de sous - groupes d' un groupe est le réseau défini par ses sous - groupes , partiellement ordonné par inclusion d' ensemble .

groupe localement cyclique

Un groupe est localement cyclique si chaque sous-groupe de type fini est cyclique . Tout groupe cyclique est localement cyclique, et tout groupe localement cyclique de génération finie est cyclique. Tout groupe localement cyclique est abélien . Chaque sous - groupe , chaque groupe quotient et chaque image homomorphe d'un groupe localement cyclique est localement cyclique.

N

fermeture normale

La fermeture normale d'un sous-ensemble  S d'un groupe  G est l'intersection de tous les sous - groupes normaux de  G qui contiennent  S .

noyau normal

Le noyau normal d'un sous - groupe H d'un groupe G est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H .

normalisateur

Pour un sous-ensemble S d'un groupe  G , le normalisateur de S dans G , noté N _G ( S ) , est le sous - groupe de G défini par

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}.}$

série normale

Une série normale d'un groupe  G est une séquence de sous-groupes normaux de G telle que chaque élément de la séquence est un sous-groupe normal de l'élément suivant :

${\displaystyle 1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G}$

avec

${\displaystyle A_{i}\triangleleft G}$.

sous-groupe normal

Un sous - groupe N d'un groupe G est normale à G (noté ) si la conjugaison d'un élément n de N par un élément g de G est toujours en N , qui est, si pour tout g ∈ G et n ∈ N , GNG ^{- 1} ∈ N . Un sous-groupe normal N d'un groupe G peut être utilisé pour construire le groupe quotient G / N ( G mod N ).${\displaystyle N\triangleleft G}$

O

orbite

Considérons un groupe G agissant sur un ensemble X . L' orbite d'un élément x de X est l'ensemble des éléments de X vers lesquels x peut être déplacé par les éléments de G . L'orbite de x est notée G ⋅ x

ordre d'un groupe

L' ordre d'un groupe est la cardinalité (c'est-à-dire le nombre d'éléments) de . Un groupe d'ordre fini est appelé groupe fini .${\style d'affichage (G,*)}$${\style d'affichage G}$

ordre d'un élément de groupe

L' ordre d'un élément g d'un groupe G est le plus petit entier positif n tel que g ⁿ = e . Si un tel entier n'existe pas, alors l'ordre de g est dit infini. L'ordre d'un groupe fini est divisible par l'ordre de chaque élément.

P

noyau parfait

Le noyau parfait d'un groupe est son plus grand sous-groupe parfait .

groupe parfait

Un groupe parfait est un groupe qui est égal à son propre sous-groupe de commutateurs .

groupe périodique

Un groupe est périodique si chaque élément du groupe a un ordre fini . Tout groupe fini est périodique.

groupe de permutation

Un groupe de permutation est un groupe dont les éléments sont des permutations d'un ensemble donné M (les fonctions bijectives de l'ensemble M à lui-même) et dont l' opération de groupe est la composition de ces permutations. Le groupe constitué de toutes les permutations d'un ensemble M est le groupe symétrique de M .

p- groupe

Si p est un nombre premier , alors un p- groupe est un groupe dans lequel l'ordre de chaque élément est une puissance de p . Un groupe fini est un p -groupe si et seulement si l' ordre du groupe est une puissance de p .

p -sous-groupe

Un sous-groupe qui est aussi un p- groupe . L'étude des p-sous- groupes est l'objet central des théorèmes de Sylow .

Q

groupe de quotient

Étant donné un groupe et un sous-groupe normal de , le groupe quotient est l'ensemble / des co- ensembles gauches avec l'opération La relation entre les sous-groupes normaux, les homomorphismes et les groupes de facteurs est résumée dans le théorème fondamental sur les homomorphismes .${\style d'affichage G}$ ${\style d'affichage N}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage N}$ ${\displaystyle \{aN:a\in G\}}$${\style d'affichage aN*bN=abN.}$

R

élément réel

Un élément g d'un groupe G est appelé élément réel de G s'il appartient à la même classe de conjugaison que son inverse, c'est-à-dire s'il existe un h dans G avec ,${\style d'affichage g^{h}=g^{-1}}$ où est défini comme h ⁻¹ gh . Un élément d'un groupe G est réel si et seulement si pour toutes les représentations de G la trace de la matrice correspondante est un nombre réel.${\style d'affichage g^{h}}$

S

sous-groupe série

Un sous-groupe H d'un groupe G est un sous - groupe sériel de G s'il existe une chaîne C de sous-groupes de G de H à G telle que pour chaque paire de sous-groupes consécutifs X et Y dans C , X est un sous-groupe normal de Y . Si la chaîne est finie, alors H est un sous-groupe subnormal de G .

groupe simple

Un groupe simple est un groupe non trivial dont les seuls sous-groupes normaux sont le groupe trivial et le groupe lui-même.

sous-groupe

Un sous - groupe d'un groupe G est un sous - ensemble H des éléments de G qui forme lui-même un groupe lorsqu'il est équipé de la restriction de l' opération de groupe de G à H × H . Un sous-ensemble H d'un groupe G est un sous-groupe de G si et seulement s'il est non vide et fermé par produits et inverses, c'est-à-dire si et seulement si pour tout a et b dans H , ab et a ⁻¹ sont aussi dans H .

série de sous-groupes

Une série de sous-groupes d'un groupe G est une séquence de sous - groupes de G telle que chaque élément de la série est un sous-groupe de l'élément suivant :

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G.}$

sous-groupe sous-normal

Un sous-groupe H d'un groupe G est un sous-groupe sous-normal de G s'il existe une chaîne finie de sous-groupes du groupe, chacun normal au suivant, commençant en H et se terminant en G .

groupe symétrique

Étant donné un ensemble M , le groupe symétrique de M est l'ensemble de toutes les permutations de M (l'ensemble de toutes les fonctions bijectives de M à M ) avec la composition des permutations comme opération de groupe. Le groupe symétrique d'un ensemble fini de taille n est noté S _n . (Les groupes symétriques de deux ensembles de même taille sont isomorphes .)

T

groupe de torsion

Synonyme de groupe périodique .

sous-groupe transitivement normal

Un sous - groupe d'un groupe est dit transitivement normal dans le groupe si chaque sous-groupe normal du sous -groupe est également normal dans l'ensemble du groupe.

groupe trivial

Un groupe trivial est un groupe constitué d'un seul élément, à savoir l'élément d'identité du groupe. Tous ces groupes sont isomorphes , et on parle souvent du groupe trivial.

Définitions basiques

Sous-groupe . Un sous - ensemble d'un groupequi reste un groupe lorsque l'opérationest limitée àest appelé un sous - groupe de. ${\style d'affichage H}$${\style d'affichage (G,*)}$${\style d'affichage *}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage G}$

Étant donné un sous-ensemble de . Nous désignons par le plus petit sous-groupe de contenant . est appelé le sous-groupe de généré par . ${\style d'affichage S}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage <S>}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage <S>}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage S}$

Sous-groupe normal . est un sous-groupe normal desi pour toutdansetdans,appartient également à. ${\style d'affichage H}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage g}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage h}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage g*h*g^{-1}}$${\style d'affichage H}$

Les sous-groupes et les sous-groupes normaux d'un groupe donné forment un réseau complet sous inclusion de sous-ensembles ; cette propriété et certains résultats associés sont décrits par le théorème du réseau .

Homomorphisme de groupe . Ce sont des fonctionsqui ont la propriété spéciale que ${\displaystyle f\colon (G,*)\to (H,\times )}$

${\style d'affichage f(a*b)=f(a)\fois f(b),}$

pour tous les éléments et de . ${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage G}$

Noyau d'un homomorphisme de groupe . C'est la préimage de l'identité dans le codomaine d'un homomorphisme de groupe. Tout sous-groupe normal est le noyau d'un homomorphisme de groupe et vice versa.

Isomorphisme de groupe . Regrouper les homomorphismes qui ont des fonctions inverses . Il s'avère que l'inverse d'un isomorphisme doit aussi être un homomorphisme.

Groupes isomorphes . Deux groupes sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de groupe transposé de l'un à l'autre. Les groupes isomorphes peuvent être considérés comme essentiellement les mêmes, mais avec des étiquettes différentes sur les éléments individuels. L'un des problèmes fondamentaux de la théorie des groupes est la classification des groupes jusqu'à l' isomorphisme.

Produit direct , somme directe et produit semi - direct de groupes. Ce sont des manières de combiner des groupes pour construire de nouveaux groupes ; veuillez vous référer aux liens correspondants pour l'explication.

Types de groupes

Groupe à génération finie . S'il existe un ensemble finitel que l'on ditalorsqu'ilest de type fini . Sipeut être considéré comme n'ayant qu'un seul élément, ils'agit d'un groupe cyclique d'ordre fini, d'un groupe cyclique infini ou éventuellement d'un groupeà un seul élément. ${\style d'affichage S}$${\style d'affichage <S>=G,}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage \{e\}}$

Groupe simple . Les groupes simples sont ces groupes ayant seulementet eux-mêmes comme sous-groupes normaux . Le nom est trompeur car un groupe simple peut en fait être très complexe. Un exemple est le groupe de monstres , dont l' ordre est d' environ 10 ⁵⁴ . Chaque groupe fini est construit à partir de groupes simples via des extensions de groupe , de sorte que l'étude des groupes simples finis est au cœur de l'étude de tous les groupes finis. Les groupes simples finis sont connus et classés . ${\style d'affichage e}$

La structure de tout groupe abélien fini est relativement simple ; tout groupe abélien fini est la somme directe de p-groupes cycliques . Cela peut être étendu à une classification complète de tous les groupes abéliens de type fini , c'est-à-dire tous les groupes abéliens générés par un ensemble fini.

La situation est beaucoup plus compliquée pour les groupes non-abéliens.

Groupe libre . Étant donné n'importe quel ensemble, on peut définir un groupe comme le plus petit groupe contenant le semi - groupe libre de. Le groupe se compose des chaînes finies (mots) qui peuvent être composées d'éléments de, ainsi que d'autres éléments nécessaires pour former un groupe. La multiplication de chaînes est définie par concaténation, par exemple${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage (abb)*(bca)=abbbca.}$

Chaque groupe est fondamentalement un groupe de facteurs d'un groupe libre généré par . Veuillez vous référer à la présentation d'un groupe pour plus d'explications. On peut alors poser des questions algorithmiques sur ces présentations, telles que : ${\style d'affichage (G,*)}$${\style d'affichage G}$

• Ces deux présentations spécifient-elles des groupes isomorphes ? ou
• Cette présentation précise-t-elle le groupe trivial ?

Le cas général de ceci est le mot problème , et plusieurs de ces questions sont en fait insolubles par tout algorithme général.

Le groupe linéaire général , noté GL( n , F ), est le groupe des matrices -par- inversibles , où les éléments des matrices sont tirés d'un champ tel que les nombres réels ou les nombres complexes. ${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage F}$

Représentation de groupe (à ne pas confondre avec la présentation d'un groupe). Une représentation de groupe est un homomorphisme d'un groupe à un groupe linéaire général. On essaie essentiellement de "représenter" un groupe abstrait donné comme un groupe concret de matrices inversiblesqui est beaucoup plus facile à étudier.

Voir également

• Glossaire des groupes de Lie et des algèbres de Lie
• Glossaire de la théorie des anneaux
• Série de compositions
• Série normale