Groupe arithmétique - Arithmetic group

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe quotient Produit (semi-) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de couronne Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie des groupes
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Le théorème de Cauchy Le théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe de quaternions Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( Z ) Groupe gratuit Groupes modulaires PSL(2, Z ) SL(2, Z ) Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle GL linéaire général ( n ) Linéaire spécial SL( n ) O orthogonal ( n ) Euclidienne E( n ) Spécial orthogonal SO( n ) Unitaire U( n ) Unité spéciale SU( n ) Sp symplectique ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie de dimension infinie O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

En mathématiques , un groupe arithmétique est un groupe obtenu en tant que points entiers d'un groupe algébrique , par exemple. Ils surviennent naturellement dans l'étude des propriétés arithmétiques des formes quadratiques et d'autres sujets classiques de la théorie des nombres . Ils donnent également lieu à des exemples très intéressants de variétés riemanniennes et sont donc des objets d'intérêt en géométrie différentielle et en topologie . Enfin, ces deux thèmes rejoignent la théorie des formes automorphes qui est fondamentale dans la théorie moderne des nombres. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).}$

Histoire

L'une des origines de la théorie mathématique des groupes arithmétiques est la théorie algébrique des nombres. La théorie classique de la réduction des formes quadratiques et hermitiennes de Charles Hermite , Hermann Minkowski et d' autres peut être considérée comme le calcul de domaines fondamentaux pour l' action de certains groupes arithmétiques sur les espaces symétriques pertinents . Le sujet était lié à la géométrie des nombres de Minkowski et au développement précoce de l'étude des invariants arithmétiques des champs de nombres tels que le discriminant . Les groupes arithmétiques peuvent être considérés comme une vaste généralisation des groupes unitaires de champs de nombres à un cadre non commutatif.

Les mêmes groupes sont également apparus dans la théorie analytique des nombres au fur et à mesure que l'étude des formes modulaires classiques et de leurs généralisations se développait. Bien entendu, les deux thèmes étaient liés, comme on peut le voir par exemple dans le calcul de Langlands du volume de certains domaines fondamentaux à l'aide de méthodes analytiques. Cette théorie classique a culminé avec les travaux de Siegel, qui a montré la finitude du volume d'un domaine fondamental dans de nombreux cas.

Pour que la théorie moderne commence, un travail de fondation était nécessaire, et a été fourni par les travaux d' Armand Borel , d' André Weil , de Jacques Tits et d'autres sur les groupes algébriques. Peu de temps après, la finitude du covolume a été prouvée en toute généralité par Borel et Harish-Chandra. Pendant ce temps, il y avait des progrès sur la théorie générale des réseaux dans les groupes de Lie par Atle Selberg , Grigori Margulis , David Kazhdan , MS Raghunathan et d'autres. L'état de l'art après cette période a été essentiellement fixé dans le traité de Raghunathan, publié en 1972.

Dans les années 70, Margulis a révolutionné le sujet en prouvant que dans "la plupart" des cas, les constructions arithmétiques tiennent compte de tous les réseaux d'un groupe de Lie donné. Certains résultats limités dans ce sens avaient été obtenus auparavant par Selberg, mais les méthodes de Margulis (l'utilisation d' outils ergodiques-théoriques pour des actions sur des espaces homogènes) étaient complètement nouvelles dans ce contexte et devaient être extrêmement influentes sur les développements ultérieurs, renouvelant effectivement le ancien sujet de géométrie des nombres et permettant à Margulis lui-même de prouver la conjecture d'Oppenheim ; des résultats plus solides ( théorèmes de Ratner ) ont ensuite été obtenus par Marina Ratner .

Dans une autre direction, le thème classique des formes modulaires s'est épanoui dans la théorie moderne des formes automorphes. Le moteur de cet effort est principalement le programme Langlands initié par Robert Langlands . L'un des principaux outils utilisés est la formule de trace issue des travaux de Selberg et développée dans le cadre le plus général par James Arthur .

Enfin, les groupes arithmétiques sont souvent utilisés pour construire des exemples intéressants de variétés riemanniennes localement symétriques . Un sujet de recherche particulièrement actif a été les 3-variétés arithmétiques hyperboliques , qui, comme l'a écrit William Thurston , "... semblent souvent avoir une beauté particulière".

Définition et construction

Groupes arithmétiques

Si est un sous-groupe algébrique de pour certains, alors nous pouvons définir un sous-groupe arithmétique de comme le groupe de points entiers En général, il n'est pas si évident de donner un sens précis à la notion de "points entiers" d'un -groupe, et le sous-groupe défini ci-dessus peut changer lorsque nous prenons des plongements différents${\displaystyle \mathrm {G} }$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \Gamma =\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {Q} ).}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} ).}$

Ainsi, une meilleure notion est de prendre pour définition un sous-groupe arithmétique de tout groupe qui est commensurable (cela signifie que les deux et sont des ensembles finis) avec un groupe défini comme ci-dessus (par rapport à tout plongement dans ). A cette définition, au groupe algébrique est associé un ensemble de sous-groupes "discrets" tous commensurables les uns aux autres. ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$${\style d'affichage \Lambda }$${\displaystyle \Gamma /(\Gamma \cap \Lambda )}$${\displaystyle \Lambda /(\Gamma \cap \Lambda )}$${\style d'affichage \Gamma }$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {G} }$

Utilisation des champs numériques

Une généralisation naturelle de la construction ci-dessus est la suivante : soit un corps de nombres avec un anneau d'entiers et un groupe algébrique sur . Si on nous donne un plongement défini sur alors le sous-groupe peut légitimement être appelé un groupe arithmétique. ${\style d'affichage F}$${\style d'affichage O}$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\style d'affichage F}$${\displaystyle \rho :\mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}}$${\style d'affichage F}$${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathrm {GL} _{n}(O))\subset \mathrm {G} (F)}$

En revanche, la classe de groupes ainsi obtenue n'est pas plus importante que la classe de groupes arithmétiques telle que définie ci-dessus. En effet, si l'on considère le groupe algébrique sur obtenu en restreignant les scalaires de à et le plongement induit par (où ) alors le groupe construit ci-dessus est égal à . ${\displaystyle \mathrm {G} '}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\style d'affichage F}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \rho ':\mathrm {G} '\to \mathrm {GL} _{dn}}$${\style d'affichage \rho }$${\displaystyle d=[F:\mathbb {Q} ]}$${\displaystyle (\rho ')^{-1}(\mathrm {GL} _{nd}(\mathbb {Z} ))}$

Exemples

L'exemple classique d'un groupe arithmétique est , ou les groupes étroitement liés , et . Pour le groupe , ou parfois , est appelé le groupe modulaire car il est lié à la courbe modulaire . Des exemples similaires sont les groupes modulaires Siegel . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\style d'affichage n=2}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

D'autres exemples bien connus et étudiés incluent les groupes de Bianchi où est un entier sans carré et est l'anneau d'entiers dans le domaine et les groupes modulaires de Hilbert-Blumenthal . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O_{-m}),}$${\style d'affichage m>0}$${\style d'affichage O_{-m}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}}),}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O_{m})}$

Un autre exemple classique est donné par les éléments intégraux dans le groupe orthogonal d'une forme quadratique définie sur un corps de nombres, par exemple . Une construction connexe consiste à prendre les groupes unitaires d' ordres dans les algèbres de quaternions sur des corps de nombres (par exemple l' ordre de quaternion de Hurwitz ). Des constructions similaires peuvent être réalisées avec des groupes unitaires de formes hermitiennes , un exemple bien connu est le groupe modulaire de Picard . ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)(\mathbb {Z} )}$

Réseaux arithmétiques en groupes de Lie semi-simples

Quand est un groupe de Lie on peut définir un réseau arithmétique dans comme suit : pour tout groupe algébrique défini sur tel qu'il existe un morphisme à noyau compact, l'image d'un sous-groupe arithmétique dans est un réseau arithmétique dans . Ainsi, par exemple, si et est un sous-groupe de then est un réseau arithmétique dans (mais il y en a beaucoup plus, correspondant à d'autres plongements) ; par exemple, est un réseau arithmétique dans . ${\style d'affichage G}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {R} )\à G}$${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$${\displaystyle G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

Le théorème de Borel-Harish-Chandra

Un réseau dans un groupe de Lie est généralement défini comme un sous-groupe discret avec un covolume fini. La terminologie introduite ci-dessus est cohérente avec cela, car un théorème dû à Borel et Harish-Chandra déclare qu'un sous-groupe arithmétique dans un groupe de Lie semi-simple est de covolume fini (le caractère discret est évident).

Le théorème est plus précis : il dit que le réseau arithmétique est cocompact si et seulement si la "forme" utilisée pour le définir (c'est-à-dire le -groupe ) est anisotrope. Par exemple, le réseau arithmétique associé à une forme quadratique dans les variables sur sera co-compact dans le groupe orthogonal associé si et seulement si la forme quadratique ne s'annule en aucun point de . ${\style d'affichage G}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}\setminus \{0\}}$

Théorème d'arithmétique de Margulis

Le résultat spectaculaire obtenu par Margulis est une réciproque partielle du théorème de Borel-Harish-Chandra : pour certains groupes de Lie tout réseau est arithmétique. Ce résultat est vrai pour tout réseau irréductible dans les groupes de Lie semi-simples de rang réel supérieur à deux. Par exemple, tous les treillis dans sont arithmétiques lorsque . Le principal nouvel ingrédient que Margulis a utilisé pour prouver son théorème était la superrigidité des réseaux dans les groupes de rang supérieur qu'il a prouvé à cette fin. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$${\style d'affichage n\geq 3}$

L'irréductibilité ne joue un rôle que lorsqu'il a un facteur de rang réel un (sinon le théorème est toujours vrai) et n'est pas simple : cela signifie que pour toute décomposition de produit le treillis n'est pas commensurable à un produit de treillis dans chacun des facteurs . Par exemple, le treillis dans est irréductible, alors que ne l'est pas. ${\style d'affichage G}$${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Le théorème d'arithmétique (et de superrigidité) de Margulis est valable pour certains groupes de Lie de rang 1, à savoir pour et le groupe exceptionnel . Il est connu de ne pas tenir dans tous les groupes pour (réf au GPS) et pour quand . Il n'y a pas de réseaux non arithmétiques connus dans les groupes lorsque . ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$${\style d'affichage n\geqslant 1}$${\style d'affichage F_{4}^{-20}}$${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$${\style d'affichage n\geqslant 2}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$${\style d'affichage n=1,2,3}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$${\style d'affichage n\geqslant 4}$

Groupes arithmétiques fuchsiens et kleiniens

Un groupe arithmétique fuchsien est construit à partir des données suivantes : un corps de nombres totalement réel , une algèbre de quaternions sur et un ordre dans . On demande que pour un plongeant l'algèbre soit isomorphe à l'algèbre matricielle et pour tous les autres aux quaternions de Hamilton . Alors le groupe d'unités est un treillis dans lequel est isomorphe à et il est co-compact dans tous les cas sauf quand est l'algèbre matricielle sur Tous les treillis arithmétiques dans sont obtenus de cette manière (à commensurabilité près). ${\style d'affichage F}$ ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage F}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle \sigma :F\to \mathbb {R} }$${\displaystyle A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} }$${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$${\displaystyle (A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} )^{1}}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Les groupes arithmétiques kleiniens sont construits de la même manière, sauf qu'ils doivent avoir exactement un endroit complexe et être les quaternions de Hamilton à tous les endroits réels. Ils épuisent toutes les classes de commensurabilité arithmétique en${\style d'affichage F}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} ).}$

Classification

Pour chaque groupe de Lie semi-simple, il est en théorie possible de classer (à la commensurabilité près) tous les réseaux arithmétiques dans , d'une manière similaire aux cas expliqués ci-dessus. Cela revient à classer les groupes algébriques dont les points réels sont isomorphes à un facteur compact près à . ${\style d'affichage G}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\style d'affichage G}$

Le problème du sous-groupe de congruence

Un sous - groupe de congruence est (en gros) un sous-groupe d'un groupe arithmétique défini en prenant toutes les matrices satisfaisant certaines équations modulo un entier, par exemple le groupe de matrices entières 2 par 2 avec des coefficients diagonaux (respectivement hors diagonale) congrus à 1 (respectivement 0 ) modulo un entier positif. Ce sont toujours des sous-groupes à indice fini et le problème des sous-groupes de congruence demande approximativement si tous les sous-groupes sont obtenus de cette manière. La conjecture (généralement attribuée à Jean-Pierre Serre ) est que cela est vrai pour les réseaux arithmétiques (irréductibles) dans les groupes de rang supérieur et faux dans les groupes de rang un. Il est encore ouvert dans cette généralité mais il existe de nombreux résultats l'établissant pour des réseaux spécifiques (à la fois dans ses cas positifs et négatifs).

Groupes S-arithmétiques

Au lieu de prendre des points entiers dans la définition d'un réseau arithmétique, on peut prendre des points qui ne sont entiers qu'en dehors d'un nombre fini de nombres premiers. Cela conduit à la notion d'un réseau -arithmétique (où représente l'ensemble des nombres premiers inversés). L'exemple prototype est . Ils sont aussi naturellement des treillis dans certains groupes topologiques, par exemple est un treillis dans${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p}).}$

Définition

La définition formelle d'un groupe arithmétique pour un ensemble fini de nombres premiers est la même que pour les groupes arithmétiques avec remplacé par où est le produit des nombres premiers dans . ${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{N}}\right]\right)}$${\style d'affichage N}$${\style d'affichage S}$

Réseaux en groupes de Lie sur des champs locaux

Le Borel-Harish-Chandra théorème se généralise à des groupes -arithmetic comme suit: si est un groupe -arithmetic dans un groupe -algebraic puis est un treillis dans le groupe localement compact ${\style d'affichage S}$${\style d'affichage \Gamma }$${\style d'affichage S}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\style d'affichage \Gamma }$

${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )\times \prod _{p\in S}\mathrm {G} (\mathbb {Q} _{p})}$.

Quelques candidatures

Graphiques expanseurs explicites

Les groupes arithmétiques avec la propriété de Kazhdan (T) ou la propriété plus faible ( ) de Lubotzky et Zimmer peuvent être utilisés pour construire des graphes expanseurs (Margulis), ou même des graphes de Ramanujan (Lubotzky—Phillips—Sarnak). De tels graphes sont connus pour exister en abondance par des résultats probabilistes mais la nature explicite de ces constructions les rend intéressants. ${\style d'affichage \tau }$

Surfaces et graphiques extrémaux

Les couvertures de congruence des surfaces arithmétiques sont connues pour donner naissance à des surfaces avec un grand rayon d'injectivité . De même, les graphes de Ramanujan construits par Lubotzky—Phillips—Sarnak ont ​​une grande circonférence . On sait en effet que la propriété de Ramanujan elle-même implique que les circonférences locales du graphe sont presque toujours grandes.

Variétés isospectrales

Les groupes arithmétiques peuvent être utilisés pour construire des variétés isospectrales . Cela a d'abord été réalisé par Marie-France Vignéras et de nombreuses variations sur sa construction sont apparues depuis. Le problème de l'isospectralité se prête en effet particulièrement à l'étude dans le cadre restreint des variétés arithmétiques.

Faux plans projectifs

Un faux plan projectif est une surface complexe qui a les mêmes nombres de Betti que le plan projectif mais qui ne lui est pas biholomorphe ; le premier exemple a été découvert par Mumford. Par le travail de Klingler (également prouvé indépendamment par Yeung) tous ces sont des quotients de la 2-boule par des réseaux arithmétiques dans . Les treillis possibles ont été classés par Prasad et Yeung et la classification a été complétée par Cartwright et Steger qui ont vérifié qu'ils correspondent bien à de faux plans projectifs. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {PU} (2,1)}$

Les références