Gerbe (mathématiques) - Sheaf (mathematics)

En mathématiques , un faisceau est un outil de suivi systématique de données (telles que des ensembles, des groupes abéliens, des anneaux) attachés aux ensembles ouverts d'un espace topologique et définis localement par rapport à eux. Par exemple, pour chaque ensemble ouvert, les données pourraient être l' anneau de fonctions continues définies sur cet ensemble ouvert. De telles données se comportent bien dans la mesure où elles peuvent être restreintes à des ensembles ouverts plus petits, et les données attribuées à un ensemble ouvert sont également équivalentes à toutes les collections de données compatibles attribuées à des collections d'ensembles ouverts plus petits couvrant l'ensemble ouvert d'origine. (Intuitivement, chaque donnée est la somme de ses parties.)

Les gerbes sont comprises conceptuellement comme des objets généraux et abstraits. Leur définition correcte est plutôt technique. Ils sont spécifiquement définis comme des faisceaux d' ensembles ou des faisceaux d'anneaux, par exemple, selon le type de données affectées aux ensembles ouverts.

Il existe aussi des cartes (ou morphismes ) d'une gerbe à l'autre ; les gerbes (d'un type particulier, comme les gerbes de groupes abéliens ) avec leurs morphismes sur un espace topologique fixe forment une catégorie . D'autre part, à chaque application continue est associé à la fois un foncteur image direct , prenant les faisceaux et leurs morphismes sur le domaine à faisceaux et morphismes sur le codomaine , et un foncteur image inverse opérant en sens inverse. Ces foncteurs , et certaines de leurs variantes, sont des éléments essentiels de la théorie des faisceaux.

En raison de leur nature générale et de leur polyvalence, les réas ont plusieurs applications en topologie et en particulier en géométrie algébrique et différentielle . Premièrement, les structures géométriques telles que celle d'une variété dérivable ou d'un schéma peuvent être exprimées en termes de faisceau d'anneaux sur l'espace. Dans de tels contextes, plusieurs constructions géométriques telles que des fibrés vectoriels ou des diviseurs sont naturellement spécifiées en termes de faisceaux. Deuxièmement, les faisceaux fournissent le cadre d'une théorie de cohomologie très générale , qui englobe également les théories de cohomologie topologique "habituelles" telles que la cohomologie singulière . En particulier en géométrie algébrique et en théorie des variétés complexes , la cohomologie des faisceaux fournit un lien puissant entre les propriétés topologiques et géométriques des espaces. Les faisceaux fournissent également la base de la théorie des D- modules , qui fournissent des applications à la théorie des équations différentielles . De plus, les généralisations des faisceaux à des paramètres plus généraux que les espaces topologiques, comme la topologie de Grothendieck , ont fourni des applications à la logique mathématique et à la théorie des nombres .

Définitions et exemples

Dans de nombreuses branches mathématiques, plusieurs structures définies sur un espace topologique (par exemple, une variété différentiable ) peuvent être naturellement localisées ou restreintes à des sous - ensembles ouverts : des exemples typiques incluent des fonctions continues à valeurs réelles ou complexes , fois différentiables (à valeurs réelles ou complexes -Évaluées) fonctions limitées fonctions à valeurs réelles, des champs de vecteurs , et des sections de tout paquet vectoriel dans l'espace. La possibilité de restreindre les données à des sous-ensembles ouverts plus petits donne naissance au concept de préfaisceaux. En gros, les réas sont alors ces pré-réas, où les données locales peuvent être collées aux données globales. ${\style d'affichage X}$ ${\displaystyle U\sous-ensemble X}$ ${\style d'affichage n}$

Pré-réas

Soit un espace topologique. Une préfaisceau d'ensembles sur se compose des données suivantes : ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage F}$${\style d'affichage X}$

• Pour chaque ensemble ouvert de , un ensemble . Cet ensemble est également noté . Les éléments de cet ensemble sont appelés les sections de over . Les sections de over sont appelées les sections globales de .${\style d'affichage U}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage F(U)}$${\style d'affichage \Gamma (U,F)}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage F}$
• Pour chaque inclusion d'ensembles ouverts , une fonction . Au vu de nombreux exemples ci-dessous, les morphismes sont appelés morphismes de restriction . Si , alors sa restriction est souvent notée par analogie avec la restriction de fonctions.${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}\colon F(U)\rightarrow F(V)}$${\displaystyle {\text{res}}_{V,U}}$${\style d'affichage s\dans F(U)}$${\displaystyle {\text{res}}_{V,U}(s)}$${\displaystyle s|_{V}}$

Les morphismes de restriction doivent satisfaire deux propriétés ( fonctionnelles ) supplémentaires :

• Pour chaque ouvert de , le morphisme de restriction est le morphisme d'identité sur .${\style d'affichage U}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}\colon F(U)\rightarrow F(U)}$${\style d'affichage F(U)}$
• Si nous avons trois ensembles ouverts , alors le composé${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}}$

De manière informelle, le deuxième axiome dit que peu importe que nous restreignions à W en une étape ou restreignions d'abord à V , puis à W . Une reformulation fonctionnelle concise de cette définition est donnée plus loin.

De nombreux exemples de préfaisceaux proviennent de différentes classes de fonctions : à tout , on peut affecter l'ensemble des fonctions continues à valeur réelle sur . Les cartes de restriction sont alors simplement données en restreignant une fonction continue à un sous - ensemble ouvert plus petit , qui est à nouveau une fonction continue. Les deux axiomes du préfaisceau sont immédiatement vérifiés, donnant ainsi un exemple de préfaisceau. Ceci peut être étendu à un faisceau de fonctions holomorphes et à un faisceau de fonctions lisses . ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage C^{0}(U)}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(-)}$${\displaystyle C^{\infty }(-)}$

Une autre classe courante d'exemples est l'affectation à l'ensemble de fonctions constantes à valeur réelle sur U . Ce préfaisceau est appelé préfaisceau constant associé à et est noté . ${\style d'affichage U}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}^{psh}}$

Réas

Étant donné un préfaisceau, une question naturelle à se poser est de savoir dans quelle mesure ses sections sur un ensemble ouvert sont spécifiées par leurs restrictions aux ensembles ouverts plus petits d'un couvercle ouvert de . Un faisceau est un préfaisceau qui satisfait les deux axiomes supplémentaires suivants : ${\style d'affichage U}$${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\style d'affichage U}$

1. ( Localité ) Si est une couverture ouverte d'un ensemble ouvert , et si a la propriété pour chaque ensemble de la couverture , alors ; et${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage s,t\dans F(U)}$${\style d'affichage s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}}$${\displaystyle U_{i}}$${\style d'affichage s=t}$
2. ( Collage ) Si est un revêtement ouvert d'un ensemble ouvert , et si pour chacun une section est donnée de telle sorte que pour chaque paire d'ensembles de revêtement les restrictions et s'accordent sur les chevauchements , alors , alors il existe une section telle que pour chaque .${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle s_{i}\in F(U_{i})}$${\style d'affichage U_{i},U_{j}}$${\style d'affichage s_{i}}$${\style d'affichage s_{j}}$${\displaystyle s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$${\style d'affichage s\dans F(U)}$${\displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$${\displaystyle i\in I}$

La section dont l'existence est garantie par l'axiome 2 est appelée collage , concaténation ou collation des sections s _i . D'après l'axiome 1, il est unique. Les sections satisfaisant la condition de l'axiome 2 sont souvent dites compatibles ; ainsi les axiomes 1 et 2 déclarent ensemble que des sections compatibles peuvent être collées ensemble de manière unique . Un préfaisceau séparé , ou monopréfaisceau , est un préfaisceau satisfaisant l'axiome 1. ${\style d'affichage s}$${\style d'affichage s_{i}}$

Le préfaisceau constitué des fonctions continues évoqué ci-dessus est un faisceau. Cette assertion revient à vérifier que, étant donné les fonctions continues qui s'accordent sur les intersections , il existe une unique fonction continue dont la restriction est égale à . En revanche, le préfaisceau constant n'est généralement pas un faisceau : si est une union disjointe de deux sous-ensembles ouverts, et prend des valeurs différentes, alors il n'y a pas de fonction constante sur U dont la restriction serait égale à ces deux fonctions constantes (différentes). ${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbf {R} }$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle f:U\to \mathbf {R} }$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle U=U_{1}\sqcup U_{2}}$${\style d'affichage f_{1},f_{2}}$

Les pré-gerbes et les gerbes sont généralement désignées par des lettres majuscules, F étant particulièrement courant, vraisemblablement pour le mot français pour gerbe, faisceau . L'utilisation de lettres calligraphiques telles que est également courante. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

On peut montrer que pour spécifier un faisceau, il suffit de spécifier sa restriction aux ouverts d'une base pour la topologie de l'espace sous-jacent. De plus, on peut aussi montrer qu'il suffit de vérifier les axiomes de faisceau ci-dessus par rapport aux ensembles ouverts d'un revêtement. Cette observation est utilisée pour construire un autre exemple crucial en géométrie algébrique, à savoir les faisceaux quasi-cohérents . Ici l'espace topologique en question est le spectre d'un anneau commutatif R , dont les points sont les idéaux premiers p dans R . Les ensembles ouverts forment une base pour la topologie de Zariski sur cet espace. Étant donné un R -module M , il existe un faisceau, noté sur la Spec R , qui satisfait ${\displaystyle D_{f}:=\{p\sous-ensemble R,f\notin p\}}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$

${\displaystyle {\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],}$la localisation de M en f .

Autres exemples

Gerbe de sections d'une carte continue

Toute carte continue d'espaces topologiques détermine un faisceau sur par le réglage ${\style d'affichage f:Y\à X}$${\style d'affichage \Gamma (Y/X)}$${\style d'affichage X}$

${\displaystyle \Gamma (Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.}$

Tout tel est communément appelé une section de , et cet exemple est la raison pour laquelle les éléments de sont généralement appelés sections. Cette construction est particulièrement importante lors de la projection d'un faisceau de fibres sur son espace de base. Par exemple, les faisceaux de fonctions lisses sont les sections du fibré trivial . Autre exemple : la gerbe de tronçons de ${\style d'affichage s}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage F(U)}$${\style d'affichage f}$

${\displaystyle \mathbf {C} {\stackrel {\exp }{\to }}\mathbf {C} \setminus \{0\}}$

est le faisceau qui affecte à tout l'ensemble des branches du logarithme complexe sur . ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage U}$

Etant donné un point x et un groupe abélien S , le faisceau de gratte - ciel S _x défini comme suit : Si U est un ouvert contenant x , alors S _x ( U ) = S . Si U ne contient pas x , alors S _x ( U ) = 0, le groupe trivial . Les cartes de restriction sont soit l'identité sur S , si les deux ensembles ouverts contiennent x , soit la carte zéro sinon.

Réas sur collecteurs

Sur une -variété à n dimensions M , il existe un certain nombre de faisceaux importants, tels que le faisceau de fonctions j -fois continûment dérivables (avec ). Ses sections sur certains open sont les -functions . Car , cette gerbe est appelée gerbe de structure et est notée . Les fonctions non nulles forment également un faisceau, noté . Les formes différentielles (de degré p ) forment également une gerbe . Dans tous ces exemples, les morphismes de restriction sont donnés par des fonctions ou des formes de restriction. ${\style d'affichage C^{k}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}^{j}}$${\style d'affichage j\leq k}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle C^{j}}$${\displaystyle U\à \mathbf {R} }$${\style d'affichage j=k}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$${\style d'affichage C^{k}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$${\displaystyle \Omega _{M}^{p}}$

L'affectation envoyée aux fonctions supportées de manière compacte sur n'est pas un faisceau, car il n'y a, en général, aucun moyen de préserver cette propriété en passant à un sous-ensemble ouvert plus petit. Au lieu de cela, cela forme un co - faisceau , un concept double où les cartes de restriction vont dans la direction opposée à celle des faisceaux. Cependant, prendre le dual de ces espaces vectoriels donne un faisceau, le faisceau des distributions . ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage U}$

Préréas qui ne sont pas des réas

En plus du préfaisceau constant mentionné ci-dessus, qui n'est généralement pas un faisceau, il existe d'autres exemples de préfaisceaux qui ne sont pas des faisceaux :

• Soit l' espace topologique à deux points avec la topologie discrète. Définissez un préfaisceau comme suit :${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage \{x,y\}}$${\style d'affichage F}$
  $${\displaystyle F(\varnothing )=\{\varnothing \},\ F(\{x\})=\mathbf {R} ,\ F(\{y\})=\mathbf {R} ,\ F (\{x,y\})=\mathbf {R} \times \mathbf {R} \times \mathbf {R} }$$

  
  La carte de restriction est la projection de sur sa première coordonnée, et la carte de restriction est la projection de sur sa deuxième coordonnée. est un préfaisceau qui n'est pas séparé : une section globale est déterminée par trois nombres, mais les valeurs de cette section sur { x } et { y } ne déterminent que deux de ces nombres. Ainsi, bien que nous puissions coller deux sections sur { x } et { y }, nous ne pouvons pas les coller de manière unique.${\style d'affichage F(\{x,y\})\à F(\{x\})}$${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {R} \times \mathbf {R} }$${\style d'affichage F(\{x,y\})\à F(\{y\})}$${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {R} \times \mathbf {R} }$${\style d'affichage F}$
• Laissez la ligne réelle , et que l'ensemble des bornés fonctions continues sur . Ce n'est pas une gerbe car il n'est pas toujours possible de coller. Par exemple, soit U _i l'ensemble de tous les x tels que | x | < je . La fonction identité f ( x ) = x est bornée sur chaque U _i . Par conséquent, nous obtenons une section s _i sur U _i . Cependant, ces sections ne collent pas, car la fonction f n'est pas bornée sur la ligne réelle. Par conséquent F est un préfaisceau, mais pas un faisceau. En fait, F est séparé car c'est un sous-préfaisceau du faisceau de fonctions continues.${\displaystyle X=\mathbf {R} }$${\style d'affichage F(U)}$${\style d'affichage U}$

Des faisceaux motivants à partir d'espaces analytiques complexes et de géométrie algébrique

L' une des motivations historiques de réas sont venus de l' étude des variétés complexes , la géométrie analytique complexe , et la théorie du système de géométrie algébrique . En effet, dans tous les cas précédents, nous considérons un espace topologique avec un faisceau de structure lui donnant la structure d'une variété complexe, d'un espace analytique complexe ou d'un schéma. Cette perspective d'équiper un espace topologique d'un faisceau est essentielle à la théorie des espaces localement annelés (voir ci-dessous). ${\style d'affichage X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Défis techniques avec des collecteurs complexes

L'une des principales motivations historiques pour l'introduction des gerbes était la construction d'un dispositif qui garde la trace des fonctions holomorphes sur des variétés complexes . Par exemple, sur une variété complexe compacte (comme l'espace projectif complexe ou le lieu de fuite d'un polynôme homogène ), les seules fonctions holomorphes${\style d'affichage X}$

${\displaystyle f:X\to \mathbf {C} }$

sont les fonctions constantes. Cela signifie qu'il pourrait exister deux variétés complexes compactes qui ne sont pas isomorphes, mais néanmoins leur anneau de fonctions holomorphes globales, noté , est isomorphe. Comparez cela avec les variétés lisses où chaque variété peut être intégrée à certaines , d'où son anneau de fonctions lisses vient de la restriction des fonctions lisses de . Une autre complexité lorsque l'on considère l'anneau de fonctions holomorphes sur une variété complexe est donné un ensemble ouvert suffisamment petit , les fonctions holomorphes seront isomorphes à . Les faisceaux sont un outil direct pour faire face à cette complexité puisqu'ils permettent de garder une trace de la structure holomorphe sur l'espace topologique sous-jacent ou sur des sous-ensembles ouverts arbitraires . Cela signifie que, au fur et à mesure que la topologie devient plus complexe, l'anneau peut être exprimé en collant le . Notez que parfois cette gerbe est notée ou simplement , ou même lorsque l'on veut mettre l'accent sur l'espace auquel la gerbe de structure est associée. ${\style d'affichage X,X'}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(X),{\mathcal {H}}(X')}$${\style d'affichage M}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbf {R} ^{N})}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle U\sous-ensemble X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)\cong {\mathcal {H}}(\mathbf {C} ^{n})}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle U\sous-ensemble X}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(U_{i})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Suivi des sous-collecteurs avec des réas

Un autre exemple courant de faisceaux peut être construit en considérant une sous-variété complexe . Il y a un faisceau associé qui prend un sous - ensemble ouvert et donne l'anneau de fonctions holomorphes sur . Ce type de formalisme s'est avéré extrêmement puissant et motive de nombreuses algèbres homologiques telles que la cohomologie des faisceaux, car une théorie des intersections peut être construite en utilisant ces types de faisceaux à partir de la formule d'intersection de Serre. ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$${\displaystyle U\sous-ensemble X}$${\displaystyle U\cap Y}$

Opérations avec des réas

Morphismes

Les morphismes des gerbes sont, grosso modo, analogues aux fonctions entre eux. Contrairement à une fonction entre ensembles, qui n'a pas de structure supplémentaire, les morphismes de faisceaux sont ces fonctions qui préservent la structure inhérente aux faisceaux. Cette idée est précisée dans la définition suivante.

Soient F et G deux faisceaux sur X . Un morphisme consiste en un morphisme pour chaque ouvert U de X , sous réserve que ce morphisme soit compatible avec des restrictions. En d'autres termes, pour tout ouvert V d'un ouvert U , le diagramme suivant est commutatif . ${\displaystyle \varphi :G\to F}$${\displaystyle \varphi _{U}:G(U)\to F(U)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}G(U)&{\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad }}&F(U)\\r_{V,U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }r_{V,U}\\G(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&F(V)\end{array} }}$

Par exemple, prendre la dérivée donne un morphisme de faisceaux sur R : En effet, étant donné une fonction ( n fois continûment dérivable) (avec U dans R ouvert), la restriction (à un plus petit ouvert V ) de sa dérivée est égale à la dérivée de . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {R} }^{n-1}.}$${\displaystyle f:U\to \mathbf {R} }$${\style d'affichage f|_{V}}$

Avec cette notion de morphisme, les faisceaux sur un espace topologique fixe X forment une catégorie . Les notions catégoriques générales de mono- , épi- et isomorphismes peuvent donc être appliquées aux faisceaux. Un morphisme de faisceau est un isomorphisme (resp. monomorphisme) si et seulement si chacun est une bijection (resp. application injective). De plus, un morphisme de gerbes est un isomorphisme si et seulement s'il existe un couvercle ouvert tel que soient des isomorphismes de gerbes pour tous . Cette déclaration, qui vaut également pour les monomorphismes, mais ne vaut pas pour les préfaisceaux, est un autre exemple de l'idée que les faisceaux sont de nature locale. ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi _{U}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$${\displaystyle \varphi |_{U_{\alpha }}}$${\style d'affichage \alpha }$

Les déclarations correspondantes ne sont pas valables pour les épimorphismes (de faisceaux), et leur échec est mesuré par la cohomologie de faisceaux .

Tiges d'une gerbe

La tige d'une gerbe capture les propriétés d'un « autour de faisceau » un point x ∈ X, généralisant les germes de fonctions . Ici, "autour" signifie que, conceptuellement parlant, on regarde des quartiers de plus en plus petits du point. Bien sûr, aucun quartier ne sera assez petit, ce qui nécessite de considérer une sorte de limite. Plus précisément, la tige est définie par ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),}$

la limite directe étant sur tous les sous-ensembles ouverts de X contenant le point donné x . En d'autres termes, un élément de la tige est donné par une section sur un voisinage ouvert de x , et deux de ces sections sont considérées comme équivalentes si leurs restrictions s'accordent sur un voisinage plus petit.

Le morphisme naturel F ( U ) → F _x prend une section s dans F ( U ) à son germe en x. Ceci généralise la définition habituelle d'un germe .

Dans de nombreuses situations, il suffit de connaître les tiges d'une gerbe pour contrôler la gerbe elle-même. Par exemple, si un morphisme de gerbes est un monomorphisme, un épimorphisme ou un isomorphisme peut être testé sur les tiges. En ce sens, une gerbe est déterminée par ses tiges, qui sont une donnée locale. Par contre, les informations globales présentes dans un faisceau, c'est-à-dire les sections globales , c'est-à-dire les sections sur tout l'espace X , portent typiquement moins d'informations. Par exemple, pour une variété complexe compacte X , les sections globales du faisceau de fonctions holomorphes sont simplement C , puisque toute fonction holomorphe ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$

${\displaystyle X\to \mathbf {C} }$

est constant par le théorème de Liouville .

Transformer une prégerbe en gerbe

Il est fréquemment utile de prendre les données contenues dans un préfaisceau et de l'exprimer sous forme de faisceau. Il s'avère qu'il existe une meilleure façon de le faire. Il faut un préfaisceau F et produit une nouvelle gerbe aF appelé sheafification ou Gerbe associé au préfaisceau F . Par exemple, le faisceau du préfaisceau constant (voir ci-dessus) est appelé faisceau constant . Malgré son nom, ses sections sont des fonctions localement constantes .

Le faisceau aF peut être construit en utilisant l' espace étalé de F , à savoir comme le faisceau de sections de la carte

${\displaystyle \mathrm {Spe} (F)\à X.}$

Une autre construction du faisceau aF procède au moyen d'un foncteur L de préfaisceaux en préfaisceaux qui améliore progressivement les propriétés d'un préfaisceau : pour tout préfaisceau F , LF est un préfaisceau séparé, et pour tout préfaisceau séparé F , LF est un faisceau. Le faisceau associé aF est donné par LLF .

L' idée que le faisceau aF est la meilleure approximation possible de F par un faisceau est précisée en utilisant la propriété universelle suivante : il existe un morphisme naturel des préfaisceaux de sorte que pour tout faisceau G et tout morphisme de préfaisceaux , il existe un morphisme unique de des poulies telles que . En fait a est le foncteur adjoint à gauche au foncteur d'inclusion (ou foncteur d'oubli ) de la catégorie des faisceaux à la catégorie des préfaisceaux, et i est l' unité de l'adjonction. De cette façon, la catégorie des gerbes se transforme en une sous - catégorie Giraud des pré- gerbes . Cette situation catégorique est la raison pour laquelle le foncteur de gerbe apparaît dans la construction de conoyaux de morphismes de gerbes ou de produits tensoriels de gerbes, mais pas pour les noyaux, disons. ${\displaystyle i\colon F\à aF}$${\displaystyle f\colon F\à G}$${\displaystyle {\tilde {f}}\colon aF\rightarrow G}$${\displaystyle f={\tilde {f}}i}$

Sous-réas, réas de quotient

Si K est un sous - faisceau d'un faisceau F de groupes abéliens, alors le faisceau quotient Q est le faisceau associé au préfaisceau ; en d'autres termes, le faisceau quotient s'inscrit dans une séquence exacte de faisceaux de groupes abéliens ; ${\displaystyle U\mapsto F(U)/K(U)}$

${\displaystyle 0\à K\à F\à Q\à 0.}$

(c'est aussi appelé une extension de gerbe .)

Soient F , G des faisceaux de groupes abéliens. L'ensemble des morphismes des faisceaux de F à G forme un groupe abélien (par la structure de groupe abélien de G ). La gerbe hom de F et G , notée, ${\displaystyle \operatorname {Hom} (F,G)}$

${\displaystyle {\mathcal {Hom}}(F,G)}$

est la gerbe des groupes abéliens où est la gerbe sur U donnée par (Notez que la gerbe n'est pas nécessaire ici). La somme directe de F et G est le faisceau donné par , et le produit tensoriel de F et G est le faisceau associé au préfaisceau . ${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})}$${\style d'affichage F|_{U}}$${\style d'affichage (F|_{U})(V)=F(V)}$${\displaystyle U\mapsto F(U)\oplus G(U)}$${\displaystyle U\mapsto F(U)\fois G(U)}$

Toutes ces opérations s'étendent à des faisceaux de modules sur un faisceau d'anneaux A ; ce qui précède est le cas particulier où A est le faisceau constant . ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Fonctionnalité de base

Étant donné que les données d'un (pré-)faisceau dépendent des sous-ensembles ouverts de l'espace de base, les faisceaux sur différents espaces topologiques ne sont pas liés les uns aux autres dans le sens où il n'y a pas de morphismes entre eux. Cependant, étant donné une application continue f  : X → Y entre deux espaces topologiques, pushforward et pullback relient les faisceaux sur X à ceux sur Y et vice versa.

Image directe

La poussée (également appelée image directe ) d'une gerbe sur X est la gerbe définie par ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(f^{-1}(V)).}$

Ici V est un sous-ensemble ouvert de Y , de sorte que sa préimage est ouverte dans X par la continuité de f . Cette construction récupère la gerbe de gratte-ciel évoquée plus haut : ${\style d'affichage S_{x}}$

${\style d'affichage S_{x}=i_{*}(S)}$

où est l'inclusion, et S est considéré comme une gerbe sur le singleton (par . ${\displaystyle i:\{x\}\to X}$${\displaystyle S(\{*\})=S,S(\emptyset )=\emptyset }$

Pour une carte entre espaces localement compacts , l' image directe à support compact est un sous-faisceau de l'image directe. Par définition, se compose de ceux dont le support est une carte propre sur V . Si f est proprement dit, alors , mais en général ils ne sont pas d'accord. ${\style d'affichage (f_{!}{\mathcal {F}})(V)}$${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))}$${\displaystyle f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}}$

Image inversée

Le pullback ou image inverse va dans l'autre sens : il produit une gerbe sur X , notée hors d'une gerbe sur Y . Si f est l'inclusion d'un sous-ensemble ouvert, alors l'image inverse n'est qu'une restriction, c'est-à-dire qu'elle est donnée par pour un ouvert U dans X . Un faisceau F (sur un espace X ) est dit localement constant si par des sous-ensembles ouverts tels que la restriction de F à tous ces sous-ensembles ouverts est constante. Dans une large gamme d'espaces topologiques X , de tels faisceaux sont équivalents à des représentations du groupe fondamental . ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)}$${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$ ${\style d'affichage \pi _{1}(X)}$

Pour les applications générales f , la définition de est plus complexe ; il est détaillé au foncteur d'image inverse . La tige est un cas particulier essentiel du pullback en vue d'une identification naturelle, où i est comme ci-dessus : ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}=i^{-1}{\mathcal {G}}(\{x\}).}$

Plus généralement, les tiges satisfont . ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}}$

Extension par zéro

Pour l'inclusion d'un sous-ensemble ouvert, l' extension par zéro d'un faisceau de groupes abéliens sur U est définie comme ${\style d'affichage j:U\à X}$

${\displaystyle (j_{!}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(V)}$si et autrement.${\displaystyle V\sous-ensemble U}$${\style d'affichage (j_{!}{\mathcal {F}})(V)=0}$

Pour un faisceau sur X , cette construction est en un sens complémentaire de , où est l'inclusion du complément de U : ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\style d'affichage i_{*}}$${\style d'affichage i}$

${\displaystyle (j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}}$pour x dans U , et la tige est nulle sinon, tandis que

${\displaystyle (i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0}$pour x dans U , et est égal autrement.${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}}$

Ces foncteurs sont donc utiles pour réduire les questions de la théorie des faisceaux sur X à celles sur les strates d'une stratification , c'est-à-dire une décomposition de X en sous-ensembles plus petits et localement fermés.

Compléments

Réas dans des catégories plus générales

En plus des (pré-)réas comme présenté ci-dessus, où est simplement un ensemble, il est dans de nombreux cas important de garder une trace de la structure supplémentaire sur ces sections. Par exemple, les sections du faisceau de fonctions continues forment naturellement un espace vectoriel réel , et la restriction est une application linéaire entre ces espaces vectoriels. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

Les préfaisceaux avec des valeurs dans une catégorie arbitraire C sont définis en considérant d'abord la catégorie des ensembles ouverts sur X comme étant la catégorie posetale O ( X ) dont les objets sont les ensembles ouverts de X et dont les morphismes sont des inclusions. Alors un préfaisceau de valeur C sur X est le même qu'un foncteur contravariant de O ( X ) à C . Les morphismes de cette catégorie de foncteurs, également appelés transformations naturelles , sont les mêmes que les morphismes définis ci-dessus, comme on peut le voir en décryptant les définitions.

Si la catégorie cible C admet toutes les limites , un préfaisceau de valeur C est un faisceau si le diagramme suivant est un égaliseur pour chaque couvercle ouvert d'un ensemble ouvert : ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\style d'affichage U}$

${\displaystyle F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j} F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Ici la première carte est le produit des cartes de restriction

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})}$

et la paire de flèches les produits des deux ensembles de restrictions

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}) }$

et

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}) .}$

Si C est une catégorie abélienne , cette condition peut également être reformulée en exigeant qu'il existe une suite exacte

${\displaystyle 0\à F(U)\à \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i} }-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Un cas particulier de cette condition de faisceau se produit pour U étant l'ensemble vide, et l'ensemble d'index I étant également vide. Dans ce cas, la condition de faisceau nécessite d'être l' objet terminal en C . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\emptyset )}$

Espaces annelés et gerbes de modules

Dans plusieurs disciplines géométriques, dont la géométrie algébrique et la géométrie différentielle , les espaces sont accompagnés d'un faisceau naturel d'anneaux, souvent appelé faisceau de structure et noté . Une telle paire s'appelle un espace annelé . De nombreux types d'espaces peuvent être définis comme certains types d'espaces annelés. Communément, toutes les tiges de la gerbe de structure sont des anneaux locaux , auquel cas la paire est appelée un espace localement annelé . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\style d'affichage (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Par exemple, une variété C ^{k de} dimension n M est un espace localement annelé dont le faisceau de structure est constitué de -fonctions sur les sous-ensembles ouverts de M . La propriété d'être un espace localement annelé se traduit par le fait qu'une telle fonction, qui est non nulle en un point x , est également non nulle sur un voisinage ouvert suffisamment petit de x . Certains auteurs définissent en fait les variétés réelles (ou complexes) comme des espaces localement annelés qui sont localement isomorphes à la paire constituée d'un sous-ensemble ouvert de (resp. ) avec le faisceau de fonctions C ^k (resp. holomorphes). De même, les schémas , la notion fondamentale d'espaces en géométrie algébrique, sont des espaces localement annelés qui sont localement isomorphes au spectre d'un anneau . ${\style d'affichage C^{k}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$

Étant donné un espace annelé, un faisceau de modules est un faisceau de telle sorte que sur chaque ensemble ouvert U de X , est un -module et pour chaque inclusion d'ouverts V ⊆ U , la carte de restriction est compatible avec la carte de restriction O ( U ) → O ( V ) : la restriction de fs est la restriction de f fois celle de s pour tout f dans O ( U ) et s dans F ( U ). ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)}$

Les objets géométriques les plus importants sont des gerbes de modules. Par exemple, il existe une correspondance bijective entre les fibrés vectoriels et les faisceaux localement libres de -modules. Ce paradigme s'applique aux fibrés vectoriels réels, aux fibrés vectoriels complexes ou aux fibrés vectoriels en géométrie algébrique (où se compose de fonctions lisses, de fonctions holomorphes ou de fonctions régulières, respectivement). Les faisceaux de solutions aux équations différentielles sont des D -modules , c'est-à-dire des modules sur le faisceau d' opérateurs différentiels . Sur n'importe quel espace topologique, les modules sur le faisceau constant sont les mêmes que les faisceaux de groupes abéliens au sens ci-dessus. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Il existe un foncteur d'image inverse différent pour les faisceaux de modules sur les faisceaux d'anneaux. Ce foncteur est généralement noté et il est distinct de . Voir foncteur image inverse . ${\displaystyle f^{*}}$${\style d'affichage f^{-1}}$

Conditions de finitude pour les gerbes de modules

Les conditions de finitude du module sur les anneaux commutatifs donnent lieu à des conditions de finitude similaires pour les faisceaux de modules : est dite de type fini (resp. de présentation finie ) si, pour tout point x de X , il existe un voisinage ouvert U de x , un nombre naturel n (éventuellement dépendant de U ), et un morphisme surjectif de faisceaux (respectivement, en plus un nombre naturel m , et une suite exacte .) En parallèle avec la notion de module cohérent , on appelle un faisceau cohérent s'il est de type fini et si , pour tout ouvert U et tout morphisme de faisceaux (pas nécessairement surjectif), le noyau de est de type fini. est cohérent s'il est cohérent en tant que module sur lui-même. Comme pour les modules, la cohérence est en général une condition strictement plus forte que la présentation finie. Le théorème de cohérence d'Oka stipule que le faisceau de fonctions holomorphes sur une variété complexe est cohérent. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}\à 0}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}\to {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

L'espace étalé d'une gerbe

Dans les exemples ci-dessus, il a été noté que certaines gerbes se présentent naturellement sous forme de gerbes de sections. En fait, tous les faisceaux d'ensembles peuvent être représentés comme des faisceaux de sections d'un espace topologique appelé l' espace étalé , du mot français étalé[etale] , ce qui signifie à peu près "étaler". Siest un faisceau sur, alors l' espace étalé deest un espace topologiqueassorti d'un homéomorphisme local tel que le faisceau de sectionsdeest. L'espaceest généralement très étrange, et même si la gerberésulte d'une situation topologique naturelle,peut ne pas avoir d'interprétation topologique claire. Par exemple, siest le faisceau de sections d'une fonction continue, alorssi et seulement siest un homéomorphisme local . ${\displaystyle F\in {\text{Sh}}(X)}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage E}$ ${\style d'affichage \pi :E\à X}$${\displaystyle \Gamma (\pi ,-)}$${\style d'affichage \pi }$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage f:Y\à X}$${\style d'affichage E=Y}$${\style d'affichage f}$

L'espace étalé est construit à partir de tiges de plus de . En tant qu'ensemble, c'est leur union disjointe et c'est la carte évidente qui prend la valeur sur la tige de plus de . La topologie de est définie comme suit. Pour chaque élément et chacun , on obtient un germe de at , noté ou . Ces germes déterminent les points de . Pour tout et , l'union de ces points (pour tout ) est déclarée ouverte dans . Notez que chaque tige a la topologie discrète comme topologie de sous-espace. Deux morphismes entre faisceaux déterminent une carte continue des espaces étalés correspondants qui est compatible avec les cartes de projection (en ce sens que chaque germe est mappé à un germe sur un même point). Cela fait de la construction un foncteur. ${\style d'affichage E}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage \pi }$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage x\dans X}$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage s\dans F(U)}$${\style d'affichage x\dans U}$${\style d'affichage s}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage [s]_{x}}$${\style d'affichage s_{x}}$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage s\dans F(U)}$${\style d'affichage x\dans U}$${\style d'affichage E}$

La construction ci-dessus détermine une équivalence de catégories entre la catégorie des faisceaux d'ensembles sur et la catégorie des espaces étalé sur . La construction d'un espace étalé peut également s'appliquer à un préfaisceau, auquel cas le faisceau de sections de l'espace étalé recouvre le faisceau associé au préfaisceau donné. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$

Cette construction fait de tous les faisceaux des foncteurs représentables sur certaines catégories d'espaces topologiques. Comme ci-dessus, soit une gerbe sur , soit son espace étalé, et soit la projection naturelle. Considérons la surcatégorie d'espaces topologiques sur , c'est-à-dire la catégorie d'espaces topologiques avec des applications continues fixes à . Chaque objet de cette catégorie est une application continue , et un morphisme de à est une application continue qui commute avec les deux applications vers . Il y a un foncteur${\style d'affichage F}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage \pi :E\à X}$ ${\displaystyle {\text{Top}}/X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage f:Y\à X}$${\style d'affichage Y\à X}$${\style d'affichage Z\à X}$${\style d'affichage Y\à Z}$${\style d'affichage X}$

${\displaystyle \Gamma :{\text{Top}}/X\to {\text{Sets}}}$

envoyer un objet à . Par exemple, si est l'inclusion d'un sous-ensemble ouvert, alors${\style d'affichage f:Y\à X}$${\style d'affichage f^{-1}F(O)}$${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(U)=F(U)=\Gamma (F,U)}$

et pour l'inclusion d'un point , alors${\displaystyle i:\{x\}\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(\{x\})=F|_{x}}$

est la tige d' à . Il existe un isomorphisme naturel${\style d'affichage F}$${\style d'affichage x}$

${\displaystyle (f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )}$,

ce qui montre que (pour l'espace étalé) représente le foncteur . ${\style d'affichage \pi :E\à X}$${\style d'affichage \Gamma }$

${\style d'affichage E}$est construit de telle sorte que la carte de projection soit une carte de couverture. En géométrie algébrique, l'analogue naturel d'une application couvrante est appelé un morphisme étale . Malgré sa similitude avec "étalé", le mot étale${\style d'affichage \pi }$[etal] a un sens différent en français. Il est possible de transformeren un système eten un morphisme de schémas de telle sorte queconserve la même propriété universelle, maisest pas en général un morphisme étales car il n'est pas quasi-finie. Elle est cependant formellement étale . ${\style d'affichage E}$${\style d'affichage \pi }$${\style d'affichage \pi }$${\style d'affichage \pi }$

La définition des gerbes par espaces étalés est plus ancienne que la définition donnée plus haut dans l'article. Elle est encore courante dans certains domaines des mathématiques comme l'analyse mathématique .

Cohomologie du faisceau

Dans les contextes, où l'ensemble ouvert U est fixe, et la gerbe est considérée comme une variable, l'ensemble F ( U ) est aussi souvent noté${\displaystyle \Gamma (U,F).}$

Comme on l'a noté plus haut, ce foncteur ne préserve pas les épimorphismes. Au lieu de cela, un épimorphisme de gerbes est une application avec la propriété suivante : pour toute section, il existe un revêtement où${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$

${\displaystyle U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$

de sous-ensembles ouverts, tels que la restriction soit à l'image de . Cependant, g lui-même n'a pas besoin d'être à l'image de . Un exemple concret de ce phénomène est la carte exponentielle ${\displaystyle g|_{U_{i}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{i})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}{\stackrel {\exp }{\to }}{\mathcal {O}}^{\times }}$

entre le faisceau de fonctions holomorphes et les fonctions holomorphes non nulles. Cette application est un épimorphisme, ce qui revient à dire que toute fonction holomorphe non nulle g (sur un sous-ensemble ouvert de C , disons), admet localement un logarithme complexe , c'est-à-dire après avoir restreint g aux sous-ensembles ouverts appropriés. Cependant, g n'a pas besoin d'avoir un logarithme globalement.

La cohomologie de faisceau capture ce phénomène. Plus précisément, pour une suite exacte de faisceaux de groupes abéliens

${\displaystyle 0\à {\mathcal {F}}_{1}\à {\mathcal {F}}_{2}\à {\mathcal {F}}_{3}\à 0,}$

(ie, un épimorphisme dont le noyau est ), il existe une longue suite exacte${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$

Au moyen de cette séquence, le premier groupe de cohomologie est une mesure de la non-surjectivité de la carte entre les sections de et . ${\displaystyle H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}}$

Il existe plusieurs manières différentes de construire la cohomologie des faisceaux. Grothendieck (1957) les a introduits en définissant la cohomologie des faisceaux comme le foncteur dérivé de . Cette méthode est théoriquement satisfaisante, mais, étant basée sur des résolutions injectives , de peu d'utilité dans les calculs concrets. Les résolutions de godement sont une autre approche générale, mais pratiquement inaccessible. ${\style d'affichage \Gamma }$

Calcul de la cohomologie des faisceaux

Surtout dans le contexte des faisceaux sur les collecteurs, cohomology peut souvent être faisceau calculée en utilisant des résolutions par réas douces , réas fines et faisceaux flasques (également connu sous le nom réas Flasque du Français flasque flasque de sens). Par exemple, un argument de partition d'unité montre que le faisceau de fonctions lisses sur une variété est mou. Les groupes de cohomologie supérieurs pour disparaissent pour les faisceaux mous, ce qui permet de calculer la cohomologie des autres faisceaux. Par exemple, le complexe de Rham est une résolution du faisceau constant sur toute variété lisse, donc la cohomologie du faisceau de est égale à sa cohomologie de Rham . ${\displaystyle H^{i}(U,{\mathcal {F}})}$${\style d'affichage i>0}$${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$

Une approche différente est la cohomologie de Čech . La cohomologie Čech a été la première théorie de cohomologie développée pour les faisceaux et elle est bien adaptée aux calculs concrets, tels que le calcul de la cohomologie de faisceaux cohérents de l'espace projectif complexe . Il relie les sections sur les sous-ensembles ouverts de l'espace aux classes de cohomologie sur l'espace. Dans la plupart des cas, la cohomologie de Čech calcule les mêmes groupes de cohomologie que la cohomologie du foncteur dérivé. Cependant, pour certains espaces pathologiques, la cohomologie de Čech donnera les groupes de cohomologie supérieurs corrects mais incorrects. Pour contourner ce problème , Jean-Louis Verdier a développé des hyperrevêtements . Les hypercouvertures donnent non seulement les groupes de cohomologie supérieurs corrects, mais permettent également aux sous-ensembles ouverts mentionnés ci-dessus d'être remplacés par certains morphismes d'un autre espace. Cette flexibilité est nécessaire dans certaines applications, telles que la construction de Pierre Deligne de structures mixtes Hodge . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle H^{1}}$

De nombreux autres groupes de cohomologie de faisceaux cohérents sont trouvés en utilisant un plongement d'un espace dans un espace avec une cohomologie connue, comme , ou un espace projectif pondéré . De cette façon, les groupes de cohomologie de faisceaux connus sur ces espaces ambiants peuvent être liés aux faisceaux , donnant . Par exemple, le calcul de la cohomologie du faisceau cohérent de courbes planes projectives est facile à trouver. Un grand théorème dans cet espace est la décomposition de Hodge trouvée en utilisant une séquence spectrale associée à des groupes de cohomologie de faisceau , prouvée par Deligne. Essentiellement, la -page avec les termes${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle i_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$${\style d'affichage E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,\Omega _{X}^{q})}$

la cohomologie gerbe d'une variété projective lisse , dégénére, signifiant . Cela donne la structure canonique de Hodge sur les groupes de cohomologie . Il a été découvert plus tard que ces groupes de cohomologie peuvent être facilement calculés de manière explicite en utilisant les résidus de Griffiths . Voir Idéal jacobien . Ces types de théorèmes conduisent à l'un des théorèmes les plus profonds sur la cohomologie des variétés algébriques, le théorème de décomposition , ouvrant la voie aux modules de Hodge mixtes . ${\style d'affichage X}$${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {C} )}$

Une autre approche propre au calcul de certains groupes de cohomologie est le théorème de Borel-Bott-Weil , qui identifie les groupes de cohomologie de certains fibrés linéaires sur les variétés drapeau avec des représentations irréductibles des groupes de Lie . Ce théorème peut être utilisé, par exemple, pour calculer facilement les groupes de cohomologie de tous les fibrés de droites sur l'espace projectif et les variétés de Grassmann .

Dans de nombreux cas, il existe une théorie de la dualité pour les faisceaux qui généralise la dualité de Poincaré . Voir la dualité de Grothendieck et la dualité de Verdier .

Catégories dérivées de réas

La catégorie dérivée de la catégorie des faisceaux de, disons, des groupes abéliens sur un espace X , notée ici , est le refuge conceptuel pour la cohomologie des faisceaux, en vertu de la relation suivante : ${\style d'affichage D(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} ,{\mathcal {F}}[n]) .}$

L'adjonction entre , qui est l'adjoint à gauche de (déjà au niveau des faisceaux des groupes abéliens) donne lieu à une adjonction ${\style d'affichage f^{-1}}$${\style d'affichage f_{*}}$

${\displaystyle f^{-1}:D(Y)\rightleftarrows D(X):Rf_{*}}$(pour ),${\style d'affichage f:X\à Y}$

où est le foncteur dérivé. Ce dernier foncteur englobe la notion de cohomologie de faisceau puisque pour . ${\displaystyle Rf_{*}}$${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

Fonctionneurs d'image pour les réas
image directe f *
l' image inverse f *
image directe avec support compact f !
image inversée exceptionnelle Rf !
${\displaystyle f^{*}\leftrightarrows f_{*}}$
${\displaystyle (R)f_{!}\leftrightarrows (R)f^{!}}$
Théorèmes de changement de base
v t e

Comme , l'image directe avec un support compact peut également être dérivée. En vertu de l'isomorphisme suivant paramétre la cohomologie à support compact des fibres de : ${\style d'affichage f_{*}}$${\displaystyle f_{!}}$${\displaystyle Rf_{!}F}$${\style d'affichage f}$

${\displaystyle (R^{i}f_{!}F)_{y}=H_{c}^{i}(f^{-1}(y),F).}$

Cet isomorphisme est un exemple de théorème de changement de base . Il y a un autre complément

${\displaystyle Rf_{!}:D(X)\rightleftarrows D(Y):f^{!}.}$

Contrairement à tous les foncteurs considérés ci-dessus, le foncteur image inverse tordu (ou exceptionnel) n'est en général défini qu'au niveau des catégories dérivées , c'est-à-dire que le foncteur n'est pas obtenu comme le foncteur dérivé d'un foncteur entre catégories abéliennes. Si et X est une variété orientable lisse de dimension n , alors ${\displaystyle f^{!}}$${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle f^{!}{\underline {\mathbf {R} }}\cong {\underline {\mathbf {R} }}[n].}$

Ce calcul, et la compatibilité des foncteurs avec la dualité (voir dualité de Verdier ) peuvent être utilisés pour obtenir une explication de haut niveau de la dualité de Poincaré . Dans le contexte des faisceaux quasi-cohérents sur les schémas, il existe une dualité similaire connue sous le nom de dualité cohérente .

Les gerbes perverses sont certains objets de , c'est- à -dire des complexes de gerbes (mais pas en général les gerbes proprement dites). Ils sont un outil important pour étudier la géométrie des singularités . ${\style d'affichage D(X)}$

Catégories dérivées de faisceaux cohérents et groupe de Grothendieck

Une autre application importante des catégories dérivées de faisceaux est avec la catégorie dérivée de faisceaux cohérents sur un schéma noté . Ceci a été utilisé par Grothendieck dans son développement de la théorie des intersections en utilisant des catégories dérivées et la théorie K , que le produit d'intersection des sous - schémas est représenté dans la théorie K comme${\style d'affichage X}$${\style d'affichage D_{Coh}(X)}$${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]\cdot [Y_{2}]=[{\mathcal {O}}_{Y_{1}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}^ {\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{Y_{2}}]\in K({\text{Coh(X)}})}$

où sont les faisceaux cohérents définis par les -modules donnés par leurs faisceaux de structure . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y_{i}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Sites et topoi

Les conjectures de Weil d'André Weil ont déclaré qu'il y avait une théorie de cohomologie pour les variétés algébriques sur les corps finis qui donnerait un analogue de l' hypothèse de Riemann . La cohomologie d'une variété complexe peut être définie comme la cohomologie du faisceau du faisceau localement constant dans la topologie euclidienne, ce qui suggère de définir une théorie de la cohomologie de Weil en caractéristique positive comme la cohomologie du faisceau d'un faisceau constant. Mais la seule topologie classique sur une telle variété est la topologie de Zariski , et la topologie de Zariski a très peu d'ensembles ouverts, si peu que la cohomologie de tout faisceau de constante de Zariski sur une variété irréductible s'annule (sauf au degré zéro). Alexandre Grothendieck a résolu ce problème en introduisant les topologies de Grothendieck , qui axiomatisent la notion de revêtement . L'idée de Grothendieck était que la définition d'une gerbe ne dépend que des ensembles ouverts d'un espace topologique, et non des points individuels. Une fois qu'il avait axiomatisé la notion de revêtement, les ensembles ouverts pouvaient être remplacés par d'autres objets. Un préfaisceau prend chacun de ces objets en données, comme auparavant, et un préfaisceau est un préfaisceau qui satisfait l'axiome de collage par rapport à notre nouvelle notion de revêtement. Cela a permis à Grothendieck de définir la cohomologie étale et la cohomologie -adique , qui ont finalement été utilisées pour prouver les conjectures de Weil. ${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }}}$

Une catégorie avec une topologie de Grothendieck est appelée un site . Une catégorie de gerbes sur un site s'appelle un topos ou un topos de Grothendieck . La notion d'un topos a ensuite été abstraite par William Lawvere et Miles Tierney pour définir un topos élémentaire , qui a des liens avec la logique mathématique .

Histoire

Les premières origines de la théorie des faisceaux sont difficiles à cerner – elles peuvent être coextensives avec l'idée de continuation analytique . Il a fallu environ 15 ans pour qu'une théorie reconnaissable et autonome des faisceaux émerge des travaux fondamentaux sur la cohomologie .

• 1936 Eduard Čech introduit la construction nerveuse , pour associer un complexe simplicial à un revêtement ouvert.
• 1938 Hassler Whitney donne une définition « moderne » de la cohomologie, résumant les travaux depuis que JW Alexander et Kolmogorov ont défini pour la première fois les cochaînes .
• 1943 Norman Steenrod publie sur l'homologie avec des coefficients locaux .
• 1945 Jean Leray publie des travaux réalisés en tant que prisonnier de guerre , motivés par la démonstration de théorèmes du point fixe pour application à la théorie de l' EDP ; c'est le début de la théorie des faisceaux et des séquences spectrales .
• 1947 Henri Cartan réprouve le théorème de Rham par les méthodes des faisceaux, en correspondance avec André Weil (voir théorème De Rham-Weil ). Leray donne une définition de gerbe dans ses cours via des ensembles fermés (les dernières carapaces ).
• 1948 Le séminaire de Cartan rédige pour la première fois la théorie de la gerbe.
• 1950 La théorie faisceautique « seconde édition » du séminaire Cartan: l' espace faisceautique ( espace étalé ) définition est utilisée, avec une structure stalkwise. Les supports sont introduits, et la cohomologie avec les supports. Les mappages continus donnent lieu à des séquences spectrales. En même temps Kiyoshi Oka introduit une idée (adjacente à celle-ci) d'une gerbe d'idéaux, en plusieurs variables complexes .
• 1951 Le séminaire de Cartan démontre les théorèmes A et B , basés sur les travaux d'Oka.
• 1953 Le théorème de finitude pour les faisceaux cohérents dans la théorie analytique est prouvé par Cartan et Jean-Pierre Serre , de même que la dualité de Serre .
• 1954 L'article de Serre Faisceaux algébriques cohérents (publié en 1955) introduit les faisceaux dans la géométrie algébrique . Ces idées sont immédiatement exploitées par Friedrich Hirzebruch , qui écrit en 1956 un ouvrage majeur sur les méthodes topologiques.
• 1955 Alexander Grothendieck dans des conférences au Kansas définit la catégorie abélienne et le préfaisceau , et en utilisant des résolutions injectives permet l'utilisation directe de la cohomologie du faisceau sur tous les espaces topologiques, en tant que foncteurs dérivés .
• 1956 Rapport d' Oscar Zariski Théorie des faisceaux algébriques
• 1957 L' article Tohoku de Grothendieck réécrit l'algèbre homologique ; il prouve la dualité de Grothendieck (c'est-à-dire la dualité de Serre pour des variétés algébriques éventuellement singulières ).
• À partir de 1957 : Grothendieck étend la théorie des faisceaux conformément aux besoins de la géométrie algébrique, en introduisant : les schémas et faisceaux généraux sur eux, la cohomologie locale , les catégories dérivées (avec Verdier) et les topologies de Grothendieck . Il émerge aussi son idée schématique influente des « six opérations » en algèbre homologique.
• 1958 Publication du livre de Roger Godement sur la théorie de la gerbe. C'est à cette époque que Mikio Sato propose ses hyperfonctions , qui s'avéreront être de nature gerbe-théorique.

À ce stade, les faisceaux étaient devenus une partie intégrante des mathématiques, avec une utilisation en aucun cas limitée à la topologie algébrique . Il a été découvert plus tard que la logique dans les catégories de gerbes est une logique intuitionniste (cette observation est maintenant souvent appelée sémantique Kripke-Joyal , mais devrait probablement être attribuée à un certain nombre d'auteurs).

Voir également

• Gerbe cohérente
• Gerbe
• Pile (mathématiques)
• Gerbe de spectres
• Gerbe perverse
• Préfaisceaux d'espaces
• Gerbe constructible

Remarques

Les références

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• Godement, Roger (2006) [1973], Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Paris : Hermann, ISBN 2705612521, MR  0345092
• Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 (2): 119-221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN  0040-8735 , MR  0102537
• Hirzebruch, Friedrich (1995), Méthodes topologiques en géométrie algébrique , Classiques en mathématiques, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58663-0, MR  1335917 (édition mise à jour d'un classique utilisant suffisamment de théorie de la gerbe pour montrer sa puissance)
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